Diario delle lezioni Algebra M-Z, prof. Antonietta Venezia, a.a. 2013-2014

Lunedý 30 settembre (Lezione 1) - Introduzione al corso. Concetti fondamentali: prodotto cartesiano, relazioni, funzioni come relazioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Composizione di funzioni. Strutture algebriche: tavole di composizione, definizione di monoide e di gruppo, il gruppo simmetrico; definizione di spazio vettoriale, lo spazio vettoriale delle n-ple di numeri reali e dei vettori geometrici.

Mercoledý 2 ottobre (Lezione 2) - Relazioni su un insieme, relazione duale, esempi. Relazioni d'ordine, insiemi parzialmente ordinati, intervalli, esempi. L'insieme dei numeri naturali N ordinato dalla divisibilitÓ. Diagrammi di Hasse. L'insieme parzialmente ordinato delle partizioni di un insieme, esempi, nucleo di una funzione.

Venerdý 4 ottobre (Lezione 3) - Relazioni di equivalenza. Esempi: la relazione di equipotenza tra insiemi, la relazione di congruenza modulo n sull'insieme degli interi, gli interi come quoziente di N x N. ProprietÓ delle relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e insieme quoziente. Biiezione tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle relazioni di equivalenza, esempi. Relazione di equivalenza individuata da una funzione.

Lunedý 7 ottobre (Lezione 4) - Proiezione sul quoziente, sezioni, assioma della scelta, esempi. Inversa destra e inversa sinistra di una applicazione. Una sezione Ŕ un'inversa destra della proiezione. Teorema di omomorfismo per gli insiemi. Teorema di decomposizione delle applicazioni: ogni funzione pu˛ essere scritta come composizione di una applicazione iniettiva con una suriettiva. Strutture di monoide nell'insieme delle parti di un insieme. Definizione di reticolo: il reticolo dei sottoinsiemi di un insieme. Il reticolo duale.

Mercoledý 9 ottobre (Lezione 5) - Operazioni su un reticolo e loro proprietÓ (L1,L2,L3,L4). Insiemi parzialmente ordinati e reticoli prodotto. Morfismi e isomorfismi di insiemi parzialmente ordinati e di reticoli. Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Il reticolo dell'insieme delle parti di un insieme A Ŕ isomorfo al reticolo delle funzioni su A a valori 0 o 1. Consultare : Insiemi parzialmente ordinati e Reticoli

Venerdi 11 ottobre (Lezione 6)- ProprietÓ fondamentali dei reticoli:le operazioni sono isotone, principio di dualitÓ. Disuguaglianze distributive e modulari. Reticoli distributivi. Le proprietÓ L1,L2,L3,L4 caratterizzano i reticoli come strutture algebriche. Il reticolo delle partizioni di un insieme.

Lunedý 14 ottobre (Lezione 7) - Definizione dei numeri naturali secondo Peano. Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni, definizione delle iterazioni di una endofunzione e delle iterazioni di una operazione in un monoide. ProprietÓ della funzione successore. Il monoide ( N ,+) e legge di cancellazione. Il monoide ( N -{0}, . ) e legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su N -Morfismi di strutture algebriche e morfismi di monoidi, esempi. Risolvere gli esercizi della Scheda 1.

Mercoledý 16 ottobre (Lezione 8) - L'insieme dei numeri naturali N con la relazione d'ordine naturale Ŕ ben ordinato. Dimostrazione del teorema di divisione in Z attraverso il buon ordinamento. Enumerare e contare. Principi del calcolo combinatorio: principio di uguaglianza, regole della somma e del prodotto. CardinalitÓ dell'insieme delle funzioni da un insieme finito A in un insieme finito R.

Venerdi 18 ottobre (Lezione 9) - Dimostrazioni biiettive. Esempi. Fattoriale decrescente e numero delle funzioni iniettive. Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi: proprietÓ e formula di Pascal. Dimostrazione biiettiva del Teorema binomiale. (Riguardo ai coefficienti binomiali si possono consultare le dispense del corso di Combinatoria di K÷rner e Malvenuto, pag 25 e seguenti).

Lunedi 21 ottobre (Lezione 10) - Coefficienti multinomiali e scomposizioni di un insieme finito. Teorema multinomiale. Rappresentazione di una funzione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Principio dei cassetti: esempi. Dimostrazione del Principio di inclusione-esclusione e applicazione al calcolo del numero di funzioni suriettive da un insieme con n elementi in un insieme con r elementi. Calcolo dei numeri di Stirling di II specie. Consultare: Principio di inclusione-esclusione

Mercoledi 23 ottobre - La lezione Ŕ stata cancellata.

Venerdi 25 ottobre (Lezione 11) - Strutture algebriche con una operazione: monoidi e gruppi. Sottostrutture: sottomonoidi e sottogruppi, esempi. Morfismi di monoidi e morfismi di gruppi. Potenze in un monoide e proprietÓ. Dato un monoide (M,.) e un elemento a di M, esiste un solo morfismo di monoidi f da ( N ,+) in (M,.) tale che f (a) = 1. Dato un gruppo(G,.) e un elemento a di G, esiste un solo morfismo di gruppi f da ( Z,+) in (G,.) tale che f (a) = 1. Congruenza rispetto ad una operazione e struttura algebrica sul quoziente, esempi: la relazione su N x N che definisce (a,b) equivalente a (c,d) se a+d =b+c, il cui quoziente Ŕ isomorfo al gruppo degli interi; la congruenza modulo n in ( Z ,+) e il gruppo ( Z /n Z,+). ordine di un elemento di un gruppo. Risolvere gli esercizi della Scheda 2.

Lunedi 28 ottobre (Lezione 12)- Sottogruppi, CNES affinchÚ un sottoinsieme sia un sottogruppo. Relazione di equivalenza individuata da un morfismo di semigruppi. Teorema di omomorfismo per i monoidi, esempi. Caratterizzazione dei morfismi di gruppi. Nucleo e immagine di un morfismo f di gruppi. Teorema di omomorfismo per i gruppi: x Ker f = Ker f x Ŕ la classe di equivalenza costituita da tutti gli elementi del dominio la cui immagine Ŕ uguale a quella di x. Esempi. Polinomi a coefficienti reali in una indeterminata. Un morfismo f di gruppi Ŕ iniettivo (monomorfismo) se e solo se il Ker f Ŕ costituito solo dall'unitÓ del dominio, Ŕ suriettivo se e solo se il sottogruppo Im f coincide con il codominio.

Mercoledý 30 ottobre (Lezione 13) - Il gruppo simmetrico. Rappresentazione di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti, rappresentazione standard. Ogni permutazione Ŕ il prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e permutazioni dispari. Ordine di una permutazione. Il gruppo alterno e sua cardinalitÓ. Esempi ed esercizi.

Venerdi 1 novembre - Vacanza accademica

Lunedi 4 novembre (Lezione 14) Relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo H di un gruppo (G,.) e relativi insiemi quozienti, laterali destri e sinistri, tutti i laterali hanno la stessa cardinalitÓ di H. Teorema di Lagrange: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo. Indice di un sottogruppo. Sottogruppi normali: per ogni elemento a del gruppo G aH=Ha. CNES affinchŔ un sottogruppo sia normale. Il gruppo alterno Ŕ un sottogruppo normale del gruppo delle permutazioni su n elementi. I nuclei dei morfismi di gruppi sono sottogruppi normali. Esempi. Strutture algebriche con 2 operazioni: anelli. Anelli commutativi, anelli unitari e domini di integritÓ. Esempio di un anello con divisori dello zero. Teorema di divisione : dati due interi a,b con b non nullo esiste un'unica coppia (q,r) con r numero naturale e r< |b| tale che a = qb+r . Esistenza e unicitÓ del minimo comune multiplo di due interi non entrambi nulli. Esistenza ed unicitÓ del massimo comun divisore di due interi non entrambi nulli.

Mercoledi 6 novembre (Lezione 15) - IdentitÓ di BÚzout. Algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore e di una identitÓ di BÚzout. Esempi. Numeri primi. L'anello ( Z /n Z,+, .) delle classi resto modulo n, una classse [a] in tale anello Ŕ invertibile se e solo se MCD(a,n)=1. Il gruppo U( Z /n Z) degli elementi invertibili. L'anello ( Z /n Z,+, .) Ŕ un campo se e solo se n Ŕ un numero primo. Equazioni di primo grado in Z*/n*Z: condizione necessaria e sufficiente affinchŔ un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni: un'equazione in Z /n Z del tipo [a]x = [b] Ŕ compatibile se e solo se MCD(a,n)|b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d; la soluzione [s] modulo n/d di ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d). Esempi. Risolvere gli esercizi della Scheda 3.

Venerdi 8 novembre (Lezione 16) - Anagrammi e scomposizioni di un insieme, anagrammi e relativa relazione di equivalenza. Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una fra sequenze assegnate. Esempi ed esercizi. (cfr.Esempio 4:anagrammi).

Lunedi 11 novembre Interruzione della didattica.

Mercoledi 13 novembre - Interruzione della didattica, prova intermedia.

Venerdi 15 novembre - Interruzione della didattica.

Lunedi 18 novembre (Lezione 17) - Numeri primi, ogni numero naturale maggiore di 1 o Ŕ primo o Ŕ il prodotto di numeri primi. Se un numero primo p divide il prodotto di due interi allora uno dei due numeri Ŕ divisibile per p . Teorema fondamentale dell'aritmetica. Funzione di Eulero (cfr. Esempio 1) e ordine del gruppo U(Z /n Z). Il teorema di Eulero-Fermat, dimostrazione come conseguenza del teorema di Lagrange e dimostrazione diretta. Corollario: il piccolo teorema di Fermat. Applicazione.

Mercoledý 20 novembre (Lezione 18) - I numeri primi sono infiniti. Equazioni diofantee: condizione necessaria e sufficiente affinchÚ un'equazione diofantea sia compatibile e calcolo delle soluzioni. Esempi. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. Gruppi ciclici. Sottogruppi di (Z ,+).

Venerdý 22 novembre (Lezione 19) - Ogni gruppo ciclico infinito Ŕ isomorfo a (Z ,+), ogni gruppo ciclico di ordine n Ŕ isomorfo al gruppo (Z /n Z , +) delle classi resto modulo n. I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici, esempi. Prodotto tra matrici. L'anello delle matrici quadrate di ordine n su un campo K Ŕ un anello unitario, non commutativo e con divisori dello zero. Matrici associate ad un sistema lineare e sua rappresentazione. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo, grado di un polinomio, elementi invertibili.

Lunedi 25 novembre (Lezione 20) - Morfismi di anelli, sottoanelli, ideali. Teorema di omomorfismo per gli anelli. Esempi ed esercizi. Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Esempi: lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto, lo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo K , lo spazio dei polinomi K [x], lo spazio vettoriale delle matrici.

Mercoledý 27 novembre (Lezione 21) - Sottospazi di uno spazio vettoriale. Combinazioni lineari. CNES affinchÚ un sottoinsieme sia un sottospazio. L'intersezione di sottospazi Ŕ un sottospazio, spazio generato da un sottoinsieme. Lo spazio generato da un sottoinsieme S coincide con l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di S. Il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale. Lo spazio vettoriale dei vettori liberi dello spazio euclideo. Somma di due sottospazi, la somma coincide con lo spazio generato dall'unione dei due sottospazi, esempi. Dipendenza e indipedenza lineare, esempi. (cfr. Spazi vettoriali: prime proprietÓ ).

Venerdý 29 novembre (Lezione 22) - Caratterizzazione degli insiemi dipendenti: un insieme S Ŕ dipendente se esiste una combinazione lineare non banale di vettori di S uguale al vettore nullo. Caratterizzazione degli insiemi indipendenti:un insieme S Ŕ indipendente se l'unica combinazione lineare di vettori di S uguale al vettore nullo Ŕ quella banale. Basi di uno spazio vettoriale. Teorema: Ogni spazio vettoriale ammette una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalitÓ (senza dimostrazione).Spazi vettoriali di dimensione finita. Un insieme Ŕ una base se e solo se Ŕ un insieme di generatori minimale, un insieme Ŕ una base se e solo se Ŕ un insieme indipendente massimale. Un insieme B Ŕ una base se e solo se ogni vettore dello spazio pu˛ esprimersi in modo unico come combinazione lineare di vettori di B, coordinate di un vettore rispetto ad una base. Se S Ŕ un insieme indipendente allora: un vettore v appartiene allo spazio generato da S se e solo se l'insieme costituito da v e dai vettori di S Ŕ dipendente.Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t <n, Ŕ possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi (n<t) Ŕ possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V. Esempi. (cfr. Insiemi dipendenti e indipendenti, basi).

Lunedi 2 dicembre (Lezione 23) - Applicazioni lineari: condizione necessaria e sufficiente affinchÚ una applicazione sia lineare, il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare sono sottospazi, . una applicazione lineare Ŕ iniettiva se e solo se il suo nucleo Ŕ costituito solo dal vettore nullo, esempi, l'immagine di un insieme dipendente Ŕ dipendente, l'immagine di un sottospazio Ŕ un sottospazio, l'immagine di un insieme indipendente Ŕ indipendente se e solo se l'applicazione lineare Ŕ iniettiva. Isomorfismi. Teorema: ogni spazio vettoriale V sul campo K ha dimensione n se e solo se Ŕ isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi del campo K. Esempi.

Mercoledý 4 dicembre (Lezione 24) -Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali, esempi. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine. Analogia tra cardinalitÓ e dimensione. Formula di Grassmann. Esempi.(cfr.Applicazioni lineari)

Venerdý 6 dicembre (Lezione 25) - L'intersezione di due sottospazi U e W Ŕ il solo vettore nullo se e solo se ogni vettore di (U+W) si esprime in modo unico come somma di un vettore di U e uno di W (somma diretta). Esempi. Spazio generato dalle righe e spazio generato dalle colonne di una matrice, rango per righe e rango per colonne di una matrice. Applicazione lineare L(A) individuata dalla matrice A di m righe e n colonne, l'immagine di L(A) Ŕ generata dalle colonne di A, quindi il rango per colonne di A Ŕ la dimensione di Im L(A). Il nucleo di L(A) Ŕ il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo AX = O ha dimensione (n - dim Im L(A)). L'insieme delle soluzioni di AX = B Ŕ costituito dai vettori X tali che L(A)(X)= B ed Ŕ uguale all'insieme H + Ker L(A), dove AH = B, (ossia ogni soluzione di AX = B si esprime come somma di una soluzione particolare H con una soluzione del sistema omogeneo associato). Matrici a scala per righe, pivot, le righe non nulle di una matrice a scala costituiscono un insieme indipendente (il rango per righe di una matrice a scala Ŕ uguale al numero delle righe non nulle).

Lunedý 9 dicembre (Lezione 26) - Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe, matrici elementari, il prodotto EA di una matrice elementare E per una matrice A Ŕ uguale alla matrice ottenuta da A applicando l'operazione elementare che dalla matrice identitÓ I porta ad E, calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Risoluzione di un sistema a scala SX=B: variabili dipendenti e indipendenti, il sistema a scala Ŕ compatibile se e solo se il rango per righe di S Ŕ uguale al rango per righe di S|B. Risoluzione di un sistema lineare AX = B con il metodo di Gauss. Il rango per righe di una matrice Ŕ uguale al suo rango per colonne. Teorema di RouchÚ-Capelli. Esempi. Risolvere gli esercizi della Scheda 4.

Mercoledý 11 dicembre (Lezione 27) - Esempi di problemi che comportano la risoluzione di sistemi lineari o il calcolo di una matrice equivalente per righe: data un'applicazione lineare calcolare una base dell'immagine e una del nucleo, dato un sottospazio generato da un insieme finito di vettori G determinarne una base, determinare una base della somma e dell'intersezione di due sottospazi, dato un insieme indipendente S determinare una base contenente S.

Venerdý 12 dicembre (Lezione 28) Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L, definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Esempi. Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e m = dim V'. Esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Esempi. (cfr.Applicazioni lineari e matrici).

Lunedý 16 dicembre (Lezione 29) - Basi di Hom(V,V'), esempi. Matrici invertibili, le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) A Ŕ una matrice nxn invertibile. b) Il sistema AX = 0 ammette una sola soluzione. c) L'endomorfismo L(A) definito da L(A)(X) = AX Ŕ un isomorfismo. d) Il rango di A Ŕ n. e) Il sistema AX=B ammette una sola soluzione per ogni n-pla B. Calcolo dell'inversa: la i-esima colonna dell'inversa di A Ŕ l'unica soluzione del sistema AX = (i-esima colonna di I). Definizione di determinante. Minori e complementi algebrici. Regola di Laplace per il calcolo del determinante (senza dimostrazione) e determinante della matrice trasposta.

Mercoledý 18 dicembre (Lezione 30) - ProprietÓ del determinante. Il determinante di una matrice a scala Ŕ il prodotto degli elementi della diagonale. Se A Ŕ una matrice equivalente per righe alla matrice a scala S e le operazioni elementari eseguite per ottenere S da A sono solo del tipo 1 e 3, allora det (A) Ŕ uguale a det(S) o a -det(S). Il determinante di una matrice A Ŕ diverso da zero se e solo se rango di A Ŕ massimo. Teorema di Binet : det(AB) = det(A) det(B), dimostrazione tramite la matrici elementari. Determinante della matrice inversa. Matrice aggiunta e calcolo dell'inversa, esempi. Teorema di Cramer (senza dimostrazione).

Venerdý 20 dicembre (Lezione 31) Cambiamenti di base di uno spazio vettoriale. Esempi. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Esempi ed esercizi. (cfr. Matrici simili e diagonalizzazione)

Lunedý 23 dicembre - Lunedi 6 gennaio 2014 - Vacanze di Natale.

Mercoledý 8 gennaio 2014 (Lezione 32) - Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi. Autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicitÓ geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V Ŕ diagonalizzabile se e solo se Ŕ possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e molteplicitÓ algebrica di un autovalore. Un endomorfismo L Ŕ un isomorfismo se e solo se tutti i suoi autovalori sono non nulli. Come diagonalizzare un endomorfismo o una matrice.

Venerdý 10 gennaio (Lezione 33) - Il polinomio caratteristico Ŕ un invariante per similitudine. La molteplicitÓ geometrica di un autovalore Ŕ minore o uguale della sua molteplicitÓ algebrica. Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata di ordine n ha grado uguale ad n e il suo termine noto Ŕ detA. Autovettori relativi ad autovalori a due a due distinti sono indipendenti. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) L'endomorfismo L di V Ŕ diagonalizzabile. b) Esiste una base formata da autovettori di L. c) V Ŕ somma diretta di autospazi. d) Ogni autovalore ha molteplicitÓ albebrica uguale a quella geometrica e la somma delle molteplicitÓ di tutti gli autovalori Ŕ uguale alla dimensione dello spazio vettoriale V. Esempi ed esercizi.

Lunedý 13 gennaio (Lezione 34) - La traccia di una matrice Ŕ un invariante per similitudine. L'uguaglianza del determinante, del rango, del polinomio caratteristico Ŕ una condizione necessaria ma non sufficiente affinchÚ due matrici siano simili. Definizioni di applicazioni lineari. Esercizi.

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PDFpdf 1.Spazi_vettoriali,_prime_proprieta.pdf r1 manage 271.8 K 2013-11-29 - 11:02 AntoniettaVenezia Prime proprietÓ degli spazi vettoriali
PDFpdf 2.Insiemi_dipendenti_e_indipendenti,_basi.pdf r1 manage 279.2 K 2013-12-08 - 17:31 AntoniettaVenezia Insiemi indipendenti e dipendenfi, basi
PDFpdf 3.Applicazioni_lineari.pdf r1 manage 270.2 K 2013-12-09 - 10:16 AntoniettaVenezia Applicazioni lineari
PDFpdf 4.Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf r1 manage 224.0 K 2013-12-13 - 20:35 AntoniettaVenezia Applicazioni lineari e matrici
PDFpdf 5.Diagonalizzazione.pdf r1 manage 534.7 K 2013-12-27 - 10:18 AntoniettaVenezia Matrici simili e diagonalizzazione
PDFpdf Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf r1 manage 560.5 K 2013-10-23 - 07:35 AntoniettaVenezia Principio di inclusione-esclusione
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