Tags:
create new tag
view all tags
-- AntoniettaVenezia -

DIARIO DELLE LEZIONI

Lunedý settembre 29 (Lezione 1) - Introduzione al corso. Concetti fondamentali: prodotto cartesiano, relazioni, funzioni come relazioni. Immagine di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Composizione di funzioni, esempi. Strutture algebriche.

Mercoledý 1 ottobre (Lezione 2) - Classificazione di strutture algebriche. Definizioni di monoide, gruppo, anello, campo, esempi. Spazi vettoriali sui reali, lo spazio dei vettori geometrici applicati in un punto. Sistemi lineari, risolvere un sistema lineare in n incognite significa determinare l'insieme delle n-ple che soddisfano tutte le equazioni del sistema. Risolvere gli esercizi della Scheda 1.

Venerdý 3 ottobre (Lezione 3) - Relazioni su un insieme, relazione duale, esempi. Relazioni d'ordine, insiemi parzialmente ordinati, intervalli, esempi. L'insieme dei numeri naturali non nulli N ordinato dalla divisibilitÓ. Diagrammi di Hasse, esempi. Definizione di reticolo: il reticolo dei sottoinsiemi di un insieme e l'insieme dei naturali ordinato dalla divisibilitÓ. Operazioni di inf e sup in un reticolo, loro proprietÓ: idempotenza (L1), commutativa(L2), associativa (L3), distributiva (L4). assorbimento (L5).

Lunedý 6 ottobre (Lezione 4) - Ulteriori proprietÓ dei reticoli: le operazioni sono isotone, principio di dualitÓ. Disuguaglianze distributive e modulari. Reticoli distributivi. Le proprietÓ L1,L2,L3,L4 caratterizzano i reticoli come strutture algebriche. Relazioni di equivalenza, esempi. (cfr. Reticoli)

Mercoledý 8 ottobre (Lezione 5) Esempi di relazioni di equivalenza: la relazione di equipotenza tra insiemi, la relazione di congruenza modulo n sull'insieme degli interi, gli interi come quoziente di N x N. ProprietÓ delle relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e insieme quoziente. Biiezione tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle relazioni di equivalenza, esempi.

Venerdý 10 ottobre (Lezione 6) - Morfismi e isomorfismi di insiemi parzialmente ordinati e di reticoli. Il reticolo delle partizioni di un insieme. Proiezione sul quoziente, sezioni, assioma della scelta, esempi. Inversa destra e inversa sinistra di una applicazione. Una sezione Ŕ un'inversa destra della proiezione. Teorema di omomorfismo per gli insiemi. Teorema di decomposizione delle applicazioni: ogni funzione pu˛ essere espressa come composizione di una applicazione iniettiva con una suriettiva.

Lunedý 13 ottobre (Lezione 7) - Funzioni monotone, morfismi di reticoli, esempi. Insiemi parzialmente ordinati prodotto. Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Il reticolo dell'insieme delle parti di un insieme A Ŕ isomorfo al reticolo delle funzioni su A a valori 0 o 1. Composizioni di morfismi. Definizione assiomatica dei numeri naturali Peano. Principio di induzione.

Mercoledý 15 ottobre (Lezione 8) - Definizione ricorsiva di successioni, definizione delle iterazioni di una endofunzione e delle iterazioni di una operazione in un monoide. ProprietÓ della funzione successore. Il monoide ( N ,+) e legge di cancellazione. Il monoide ( N -{0}, . ) e legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su N - Morfismi di strutture algebriche e morfismi di monoidi, esempi. Principio del buon ordinamento.

Venerdý 16 ottobre (Lezione 9) - Principio di uguaglianza, regole della somma e del prodotto. CardinalitÓ dell'insieme delle funzioni da un insieme finito A in un insieme finito R, cardinalitÓ dell'insieme delle funzioni iniettive e fattoriale decrescente. Dimostrazioni biiettive, esempi. Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi: formula di Pascal e relazione con il fattoriale decrescente.

Lunedý 20 ottobre (Lezione 10), 3 ore - Dimostrazione biiettiva del Teorema binomiale. Coefficienti multinomiali e scomposizioni di un insieme finito. Teorema multinomiale. Rappresentazione di una funzione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Principio dei cassetti: esempi. (Riguardo ai coefficienti binomiali si possono consultare le dispense del corso di Combinatoria di K÷rner e Malvenuto, pag 25 e seguenti).

Mercoledý 22 ottobre (Lezione 11) 3 ore - Principio di inclusione-esclusione, dimostrazione. Applicazione al calcolo della cardinalitÓ dell'insieme delle funzioni suriettive. Anagrammi e scomposizioni di un insieme, anagrammi e relativa relazione di equivalenza. Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una fra sequenze assegnate. Numeri di Stirling di II specie e fattoriale decrescente, calcolo dei numeri di Stirling di II specie. Esempi ed esercizi.

Venerdý 24 ottobre (Lezione 12) - Potenze in un monoide, morfismi di monoidi e teorema di omomorfismo per i monoidi, esempi. Teorema: Dato un monoide M e un elemento a di M esiste un solo morfismo di monoidi f tale che f (a) = 1. Definizione di congruenza rispetto ad una operazione, la relazione di equivalenza individuata da un morfismo Ŕ una congruenza. Gruppi, sottogruppi. Morfismo di gruppi e proprietÓ, sottogruppo Im f e nucleo Ker f . Teorema di omomorfismo per i gruppi.

Lunedý 27 ottobre (Lezione 13) - Recupero della lezione di ProbabilitÓ.

Mercoledý 29 ottobre (Lezione 14) - Inverso di un prodotto in un gruppo. Un morfismo f di gruppi individua il nucleo (Ker f, sottogruppo del dominio), e l'immagine (Im f, sottogruppo del codominio). Teorema di omomorfismo per i gruppi: Dato un morfismo f dal gruppo G nel gruppo G' il gruppo G/Ker f Ŕ isomorfo al sottogruppo Im f. Classi laterali e classi di equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza individuata da un morfismo: [a] = a Ker f = Ker f a. Esempi. Un morfismo Ŕ un momomorfismo se e solo se Ker f Ŕ costituito solo dall'unitÓ. Un morfismo Ŕ un epimorfismo se e solo se Im f coincide con il codominio.

Venerdý 31 ottobre (Lezione 15) -Le classi di equivalenza individuate da un morfismo di gruppi f sono in corrispondenza biunivoca con il Ker f. Classi laterali (destre e sinistre) e relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo. Ordine di un gruppo. Teorema di Lagrange: Sia G un gruppo finito ed S un suo sottogruppo, allora l'ordine di S divide l'ordine di G. Sottogruppi normali e loro caratterizzazione, un sottogruppo Ŕ normale se e solo se la relazione di equivalenza da esso individuata Ŕ una congruenza. I nuclei dei morfismi sono sottogruppi normali. Il gruppo simmetrico: rappresentazione di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti e rappresentazione standard. Ogni permutazione Ŕ il prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e permutazioni dispari. Il gruppo alterno e la sua cardinalitÓ, il gruppo alterno Ŕ un sottogruppo normale.

Lunedý 3 novembre (Lezione 16) Ordine di una permutazione, legame tra ordine e paritÓ, esempi ed esercizi sul gruppo simmetrico. Strutture algebriche con due operazioni: anelli. Anelli unitari, commutativi. Divisori dello zero: esempio di un anello con divisori dello zero. Anello degli interi: dimostrazione tramite il principio del buon ordinamento del teorema di divisione. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due interi non entrambi nulli. esistenza del minimo comune multiplo.

Mercoledý 5 novembre (Lezione 17) -Esistenza ed unicitÓ del massimo comun divisore di due interi non entrambi nulli. IdentitÓ di BÚzout. Algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore e di una identitÓ di BÚzout. Esempi. L'anello ( Z / n Z,+, .) delle classi resto modulo n, una classse [ a ] in tale anello Ŕ invertibile se e solo se MCD(a,n)=1, il gruppo U( Z / n Z) degli elementi invertibili. Campi, un campo Ŕ privo di divisori dello zero. L'anello ( Z / n Z,+, .) Ŕ un campo se e solo se n Ŕ un numero primo. Risolvere gli esercizi della Scheda 2.

Venerdi 7 novembre (Lezione 18). ProprietÓ dei numeri primi: se un numero primo p divide il prodotto ab allora p divide a oppure p divide b; ogni numero naturale maggiore di 1 o Ŕ primo o Ŕ prodotto di numeri primi; teorema fondamentale dell'aritmetica (ogni numero naturale ha una unica scomposizione in fattori primi);i numeri primi sono infinti. Definizione e calcolo della funzione di Eulero, ordine del gruppo U(Z / n Z).Teorema di Fermat (dimostrazione diretta e come corollario del teorema di Lagrange). Piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Equazioni di primo grado nell'anello delle classi resto modulo n e loro significato in Z.

Lunedi 10 novembre (Lezione 19) Dati due interi positivi a e b , l'insieme S(a,b) dei naturali positivi m = ax + by Ŕ uguale all'insieme de multipli del MCD(a,b). Equazioni di primo grado in Z / n Z: condizione necessaria e sufficiente affinchŔ un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni (un'equazione in Z / n Z del tipo [a]x = [b] Ŕ compatibile se e solo se MCD( a,n)| b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d ; la soluzione [s] modulo n/d di ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d)).

Mercoledi 12 novembre (Lezione 20) Esercizi sulle equazioni di primo grado in Z / n Z. Equazioni diofantee: compatibilitÓ e calcolo delle soluzioni, esempi. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. I sottogruppi del gruppo degli ( Z ,+) sono tutti del tipo m Z .

Venerdý 14 novembre (Lezione 21) I sottogruppi di (Z / n Z ,+) sono tutti del tipo k Z / n Z dove k Ŕ un divisore di n. Il reticolo dei sottogruppi degli interi modulo 6 e modulo 12. Gruppi ciclici: i gruppi ciclici di ordine infinito sono isomorfi a ( Z ,+), ogni gruppo ciclico di ordine n Ŕ isomorfo a (Z / n Z ,+) delle classi resto modulo n. I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.

Lunedi 17 novembre (Lezione 22) Strutture algebriche con 2 operazioni: anelli. Anelli commutativi, anelli unitari e domini di integritÓ.Morfismi di anelli, sottoanelli, ideali. Teorema di omomorfismo per gli anelli, il nucleo di un morfismo di anelli Ŕ un ideale. Campi. L'anello dei polinomi ad una indeterminata K [x], gli unici polinomi invertibili sono i quelli di grado zero, K [x] non ha divisori dello zero, teorema di divisione(senza dimostrazione). Radici di un polinomio, teorema della radice, due polinomi a coefficienti reali sono uguali se e solo se coincidono le rispettive funzioni polinomiali. Prodotto righe per colonne tra matrici. Matrici e sistemi lineari. L'anello delle matrici quadrate a coefficienti in un campo K.

Risolvere gli esercizi della scheda 3

Mercoledý 19 novembre Prova intermedia.

Venerdý 21 novembre (Lezione 23) Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Esempi: lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto, lo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo K , lo spazio dei polinomi K [x], lo spazio vettoriale delle matrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale, esempi. CNES affinchÚ un sottoinsieme sia un sottospazio. L'intersezione di sottospazi Ŕ un sottospazio, spazio generato da un sottoinsieme. Combinazioni lineari. Lo spazio generato da un sottoinsieme S coincide con l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di S. Il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale. Somma di due sottospazi, la somma coincide con lo spazio generato dall'unione dei due sottospazi, somme dirette: la somma di due sottospazi (U+W) Ŕ diretta se e solo se ogni vettore della somma si esprime in un solo modo come somma di un vettore di U e di un vettore di W.

Lunedý 24 novembre (Lezione 24) Sottospazi supplementari, esempi, lo spazio vettoriale delle matrici quadrate Ŕ somma diretta del sottospazio delle matrici simmetriche e d quello delle matrici antisimmetriche. Spazi vettoriali finitamente generati, esempi. Dipendenza e indipedenza lineare, esempi. Caratterizzazione degli insiemi dipendenti: un insieme S Ŕ dipendente se esiste una combinazione lineare non banale di vettori di S uguale al vettore nullo. Caratterizzazione degli insiemi indipendenti: un insieme S Ŕ indipendente se l'unica combinazione lineare di vettori di S uguale al vettore nullo Ŕ quella banale. Se S Ŕ un insieme indipendente allora un vettore v non in S appartiene allo spazio generato da S se e solo se l'insieme costituito da v e dai vettori di S Ŕ dipendente, esempi.

Studiare e risolvere gli esercizi :Complementi ed esercizi: Spazi Vettoriali, prime proprietÓ

Mercoledi 26 novembre (Lezione 25) Basi di uno spazio vettoriale. Teorema: Ogni spazio vettoriale ammette una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalitÓ (senza dimostrazione).Dimensione, esempi. Un insieme Ŕ una base se e solo se Ŕ un insieme di generatori minimale, un insieme Ŕ una base se e solo se Ŕ un insieme indipendente massimale. Un insieme B Ŕ una base se e solo se ogni vettore dello spazio pu˛ esprimersi in modo unico come combinazione lineare di vettori di B, coordinate di un vettore rispetto ad una base. Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t , Ŕ possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi (n<t) Ŕ possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V. Esempi. Corollari: Un insieme con (n+1) vettori Ŕ sempre dipendente, ogni insieme indipendente con n elementi Ŕ una base, ogni sistema di generatori dello spazio con n vettori Ŕ una base

Venerdý 28 novembre (Lezione 26) Applicazioni lineari: una applicazione L dallo spazio vettoriale V allo spazio vettoriale V' Ŕ lineare se e solo se per ogni a e b scalari e per ogni v, w in V si ha L( a v+ b w)= a L(v)+ b L(w). Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Esempi.Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali. una applicazione lineare Ŕ definita dai valori che assume sui vettori di una base. ProprietÓ delle applicazioni lineari: l'immagine di un sottospazio di V Ŕ un sottospazio di V'; la controimagine di un sottospazio di V' Ŕ un sottospazio di V, l'immagine di un sottoinsieme dipendente Ŕ dipendente.Una applicazione lineare Ŕ iniettiva se e solo se l'immagine di un sottoinsieme indipendente di V e un insieme indipendente di V'.

Studiare e risolvere gli esercizi: Complementi ed esercizi: Dipendenza e indipendenza lineare, basi

Lunedý 1 dicembre (Lezione 27) Isomorfismi. Teorema: ogni spazio vettoriale V sul campo K ha dimensione n se e solo se Ŕ isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi del campo K. Esempi. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine di una applicazione lineare. Analogia tra cardinalitÓ e dimensione. Formula di Grassmann.

Studiare e risolvere gli esercizi: Complementi ed esercizi: Applicazioni lineari

Mercoledi 3 dicembre (Lezione 28) Data una matrice A la dimensione dello spazio generato dalle righe di A si dice rango per riga di A, la dimensione dello spazio generato dalle colonne si dice rango per colonne di A. L'applicazione lineare L(A) definita sullo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di K individuata dalla matrice A di m righe e n colonne. L'immagine di L(A) Ŕ generata dalle colonne di A (dunque il rango per colonne Ŕ la dimensione dell'immagine di L(A)) e il nucleo di L(A) Ŕ costituito dalle soluzioni del sistema AX = 0. Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Esempi. Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e m = dim V'. Matrici a scala per righe, pivot, le righe non zero di una matrice a scala per righe costituisce un insieme indipendente, dunque il rango per righe di una matrice a scala Ŕ il numero delle righe non zero. Risoluzione di un sistema lineare a scala SX = B: variabili libere e legate, il sistema Ŕ compatibile se e solo se il rango per righe di S Ŕ uguale al rango per righe della matrice completa S|B, l'insieme delle soluzioni Ŕ in corrispondenza biunivoca con le (n-t)-ple di elementi di K , essendo n il numero delle incognite e t il rango per righe di S. Il rango per righe e quello per colonne di una matrice a scala sono uguali.

Studiare e risolvere gli esercizi:Complementi ed esercizi: Applicazioni lineari e matrici

Venerdý 5 dicembre (Lezione 29) Spazio generato dalle righe e spazio generato dalle colonne di una matrice, rango per righe e rango per colonne di una matrice. Applicazione lineare L(A) individuata dalla matrice A di m righe e n colonne. Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe, matrici elementari, il prodotto EA di una matrice elementare E per una matrice A Ŕ uguale alla matrice ottenuta da A applicando l'operazione elementare che dalla matrice identitÓ I porta ad E, calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Risoluzione di un sistema lineare AX = B con il metodo di Gauss. Il rango per righe di una matrice Ŕ uguale al suo rango per colonne. Teorema di RouchÚ-Capelli. Esempi.

Risolvere gli esercizi della scheda 4

Mercoledý 10 dicembre (Lezione 30) Matrici invertibili: le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) A Ŕ una matrice nxn invertibile. b) Il sistema AX = 0 ammette una sola soluzione. c) L'endomorfismo L(A) definito da L(A)(X) = AX Ŕ un isomorfismo. d) Il rango di A Ŕ n. e) Il sistema AX=B ammette una sola soluzione per ogni n-pla B. Calcolo dell'inversa: la i-esima colonna dell'inversa di A Ŕ l'unica soluzione del sistema AX = (i-esima colonna di I). Definizione di determinante come funzione det che ad ogni matrice quadrata associa un numero reale in modo che det(A') = -det(A), se A' Ŕ ottenuta da A scambiando 2 righe; det(A') = det(A), se A' Ŕ ottenuta da A moltiplicando una riga per lo scalare k; det(A') = det(A), se A' Ŕ ottenuta da A sostituendo alla riga i-esima la stessa riga sommata ad un'altra moltiplicata per uno scalare; det(I) = 1. Esistenza di una unica funzione determinante (senza dimostrazione) Minori e complementi algebrici. Regola di Laplace per il calcolo del determinante (senza dimostrazione) e determinante della matrice trasposta. ProprietÓ del determinante. Il determinante di una matrice A Ŕ diverso da zero se e solo se rango di A Ŕ massimo. Teorema di Binet (senza dimostrazione): det (AB) = det(A) det(B). Determinante della matrice inversa. Matrice aggiunta e calcolo della matrice inversa tramite la matrice aggiunta. Teorema di Cramer (senza dimostrazione).

Venerdý 12 dicembre (Lezione 31) Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Cambiamenti di base di uno spazio vettoriale. Esempi. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicitÓ geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V Ŕ diagonalizzabile se e solo se Ŕ possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e molteplicitÓ algebrica di un autovalore. Il polinomio caratteristico Ŕ un invariante dell'endomorfismo.

Lunedý 15 dicembre (Lezione 32) Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. La molteplicitÓ geometrica di un autovalore Ŕ sempre minore o uguale alla sua molteplicitÓ algebrica. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) L'endomorfismo L di V Ŕ diagonalizzabile. b) Esiste una base formata da autovettori di L. c) V Ŕ somma diretta di autospazi. d) Ogni autovalore ha molteplicitÓ albebrica uguale a quella geometrica e la somma delle molteplicitÓ di tutti gli autovalori Ŕ uguale alla dimensione dello spazio vettoriale V. Esempi ed esercizi.

Mercoledý 17 dicembre (Lezione 33) Esercizi. Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici. Esempi di problemi che possono essere risoti applicando l'algoritmo di Gauss. Daterminare i sup e l'inf di due sottospazi.

Venerdý 19 dicembre (Lezione 34) Esercizi. Base dello spazio Hom(V,V'). Dati due sottospazi U e W determinare se possibile una applicazione lineare i cui nucleo sia U e la cui immagine sia W.

Complementi ed esercizi: Diagonalizzazione

Topic attachments
I Attachment History Action Size Date Who Comment
PDFpdf 1.Spazi_vettoriali,_prime_proprieta.pdf r1 manage 277.7 K 2014-11-27 - 11:36 AntoniettaVenezia Complementi ed esercizi: Spazi Vettoriali
PDFpdf 2.Insiemi_dipendenti_e_indipendenti,_basi.pdf r1 manage 285.4 K 2014-11-30 - 16:37 AntoniettaVenezia Complementi ed esercizi: Dipendenza e indipendenza lineare, basi
PDFpdf 3.Applicazioni_lineari.pdf r1 manage 271.1 K 2014-12-02 - 01:18 AntoniettaVenezia Complementi ed esercizi: Applicazioni lineari
PDFpdf 4.Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf r1 manage 232.9 K 2014-12-05 - 12:44 AntoniettaVenezia Complementi ed esercizi: Applicazioni lineari e matrici
PDFpdf 5.Diagonalizzazione.pdf r1 manage 538.5 K 2014-12-27 - 18:09 AntoniettaVenezia Diagonalizzazione
PDFpdf Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf r1 manage 491.3 K 2014-12-29 - 17:23 AntoniettaVenezia Principio di inclusione-esclusione
PDFpdf Reticoli.pdf r1 manage 415.1 K 2014-12-28 - 00:26 AntoniettaVenezia Reticoli
PDFpdf Scheda_1-.pdf r1 manage 513.1 K 2014-12-29 - 17:34 AntoniettaVenezia Scheda 1
PDFpdf Scheda_2-.pdf r1 manage 512.2 K 2014-12-29 - 17:37 AntoniettaVenezia Scheda 2
PDFpdf Scheda_3-_nov._2014.pdf r1 manage 633.4 K 2014-11-24 - 01:23 AntoniettaVenezia scheda 3
PDFpdf Scheda_4-_dic._2014.pdf r1 manage 378.1 K 2014-12-07 - 23:28 AntoniettaVenezia Scheda 4
Edit | Attach | Watch | Print version | History: r24 < r23 < r22 < r21 < r20 | Backlinks | Raw View | Raw edit | More topic actions
Topic revision: r24 - 2015-10-07 - AndreaSterbini






 
Questo sito usa cookies, usandolo ne accettate la presenza. (CookiePolicy)
This site is powered by the TWiki collaboration platform Powered by PerlCopyright © 2008-2017 by the contributing authors. All material on this collaboration platform is the property of the contributing authors.
Ideas, requests, problems regarding TWiki? Send feedback