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---+ DIARIO delle LEZIONI

-- %USERSIG{AntoniettaVenezia - 2019-09-22}%

<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 23 settembre (Lezione 1 -2 ore) </b></font>- Informazioni sul corso (testi, modalità di esame, ricevimento) Presentazione del programma. Concetti fondamentali: insiemi (assegnare un insieme), prodotto cartesiano e coppie ordinate, relazioni tra insiemi e relazione duale, definizione di una funzione come terna ordinata ed esempi, relazioni su un insieme. Insiemi parzialmente ordinati, totalmente ordinati, esempi.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 25 settembre (Lezione 2- 2 ore) </b></font>- Insiemi parzialmente ordinati, esempi: l'insieme delle parti di un insieme, i numeri naturali ordinati dalla divisibilità, le n-ple di numeri reali. Ogni insieme può essere totalmente ordinato (senza dimostrazione).  Le proprietà che definiscono una relazione d'ordine sono indipendenti. Diagrammi di Hasse, esempi - Relazioni di equivalenza. Esempi: la relazione di congruenza modulo  un intero n, relazione di equivalenza individuata da una funzione  _f_ ( nucleo di equivalenza di _f_  ), relazione di equivalenza in *N* x *N*.

<font color="#AF0F0F"><b> Giovedì 26 settembre (Lezione 3-  3 ore) </b></font>- Le proprietà che definiscono le relazioni di equivalenza sono indipendenti. Partizioni, classi di equivalenza e insieme quoziente, esempi. Biezione naturale tra le relazioni di equivalenza su un insieme A e le partizioni di A. ([1] p. 7-17). L'insieme parzialmente ordinato delle partizioni (raffinamento). Proiezione canonica di A nel suo quoziente, sezione e assioma della scelta (data una partizione di un insieme è sempre possibile scegliere un rappresentante per ogni classe ). L'assioma della scelta è equivalente al teorema del buon ordinamento (Ogni insieme non vuoto può essere totalmente ordinato in modo che ogni suo sottoinsieme non vuoto abbia un primo elemento). Risolvere gli esercizi della  [[%ATTACHURL%/Scheda_1-_Concetti_fondamentali.pdf][Scheda 1:Concetti fondamentali]]

<font color="#AF0F0F"> *Lunedì 30 settembre  (Lezione 4-  ore 2)* </font> Sezioni: esempio *N* x *N* con la relazione (a,b) è equivalente a (c,d) se e solo se a+d =b+ c. Immagine di una funzione, funzioni iniettive, funzioni  suriettive, biunivoche. Cardinalità. Insiemi di funzioni e cardinalità. Composizione di funzioni e proprietà. Ogni funzione può esprimersi come composta di una funzione suriettiva e di una iniettiva, esempi. Teorema di omomorfsmo per gli insiemi. esempi.

<font color="#AF0F0F"> *Mercoledì 2 ottobre  (Lezione 5-  ore 2)* </font> Dimostrazioni biettive. Funzione caratteristica di un sottoinsieme e biiezione tra l'insieme delle parti di un insieme A e l'insieme  delle funzioni da A in un insieme con 2 elementi.   Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi, formula di Pascal.  Il teorema binomiale e sua dimostrazione biiettiva. Operazioni su un insieme e strutture algebriche, classificazione: semigruppi, monoidi, esempi:  il monoide delle endofunzioni, insieme delle parti con l'unione e insieme delle parti con intersezione. Gruppi, esempi.

<font color="#AF0F0F"> *Giovedì 3 ottobre (Lezione 6-  ore 3)* </font> Morfismi di strutture algebriche, di monoidi,  di gruppi. Caratterizzazione dei morfismi di gruppi, esempi. Isomorfismi. La funzione complementare come isomorfismo dal monoide insieme delle parti con unione nel monoide insieme delle parti con l'intersezione. Definizione assiomatica dei numeri naturali *N* secondo Peano. Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni, definizione delle iterazioni di una endofunzione e delle iterazioni di una operazione in un monoide. Proprietà della funzione successore. Il monoide (*N* ,+) e legge di cancellazione. Il monoide (*N* -{0}, .) e legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su *N* , l'insieme dei naturali  con tale relazione è totalmente ordinato e le operazioni di addizione e moltiplicazione sono isotone. Altro enunciato del principio di induzione: U è un sottoinsieme di *N*  tale che : (i) _m_ è un elemento di U, (ii) se _n_, minore o uguale a _m_ , appartiene ad U allora anche (_n_ +1) ; risulta necessariamente U = *N* - [0, _m_ [.

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 7 ottobre (Lezione 7 - ore 2)* </font> L'insieme dei numeri naturali  *N*  è ben ordinato, ossia la relazione d'ordine naturale è totale e ogni sottoinsieme non vuoto ha un primo elemento (dimostrazione per assurdo) ([1] -p.22-28) Corollario: non esiste alcun numero naturale n tale che 0&lt;n&lt;1.Fattoriale decrescente e cardinalità dell'insieme delle funzioni iniettive da un insieme con _n_ elementi in un insieme con  _r_ elementi; relazione tra coefficiente binomiale e fattoriale decrescente ([3] -p.12-13). Teorema: Dato un monoide (M,*) e dato un elemento _a_ di M, esiste un solo morfismo di monoidi  _f_ dal monoide  ( *N* ,+) al monoide  (M,*) tale che _f_ (1) = _a_ . Sottostrutture algebriche, sottomonoidi, sottogruppi; esempi.Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo.  Struttura algebrica su  A x A indotta da una struttura algebrica su A.

<font color="#AF0F0F">  *Mercoledì 9 ottobre (Lezione 8 - ore 2)* </font> Definizione di congruenza rispetto ad una operazione. La congruenza su  (*N* x *N*, +) il cui quoziente è isomorfo al monoide ( *Z*,+). Anelli, anelli unitari, anelli commutativi. L'anello degli interi, teorema di divisione e sua dimostrazione mediante il principio del buon ordinamento. [[%ATTACHURL%/I_numeri_naturali_e_il_teorema_di_divisione_in_Z.pdf][I numeri naturali e il teorema di divisione per gli interi ]]

<font color="#AF0F0F"><b>  Giovedì 10 ottobre (Lezione 9 - ore 3) </b></font>La congruenza modulo n sull'anello degli interi. L'anello ( *Z* (n), +, .,) dei resti della divisione per n, tavole di composizione, esempi. Criteri di divisibilità per 3, per 5 per 10, per 11. La relazione di equivalenza individuata da un morfismo  _f_ di strutture algebriche sul dominio (nucleo di equivalenza di  _f_ ) è una congruenza e quindi sul quoziente è possibile definire una operazione tra classi ponendo [ _a_ ] . [ _b_ ] = [ _a.b_ ]. Teoremi di omomorfismo per le strutture algebriche, i monoidi, esempi. Dato un morfismo di gruppi  _f_ di dominio G e codominio G', la classe di equivalenza [ 1 ], costituita dagli elementi _u_  di G la cui immagine è l'unità del gruppo G' è un sottogruppo di G che si chiama nucleo di  _f_ e si indica con  Ker  _f_. ,inoltre la classe di equivalenza [ _a_ ], costituita dagli elementi di G che hanno la stessa immagine di _a_ ,è uguale all'insieme _a_ (Ker _f_ )  = Ker _f_ (_a_) e si ha |Ker _f_ |= |[ _a_ ]|. L'immagine del morfismo _f_ è un sottogruppo di G', teorema di omomorfismo per i gruppi, esempi.  Ripassare e risolvere gli esercizi della  [[%ATTACHURL%/Scheda_2-_Funzioni.pdf][Scheda 2: Funzioni]]

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 14 ottobre (Lezione 10 - ore 2)* </font> Dato un gruppo (G,*) e dato un elemento  _a_  di G, esiste un solo morfismo di gruppi _f_ di dominio (*Z*,+) in G tale che _f_ (1) = _a_ .Sottogruppi di un gruppo:  l'intersezione di sottogruppi è un sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme e sue proprietà. Definizione dei reticolo, il reticolo dei sottoinsiemi di un insieme, il reticolo dei sottogruppi di un gruppo.  Gruppi ciclici, tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. I sottogruppi di (*Z*,+) sono tutti e soli del tipo _n_ *Z*.

<font color="#AF0F0F"><b>  Mercoledì 16 ottobre (Lezione 11 - ore 2) </b></font>  Il gruppo ( *Z* (_n_) , + ) è ciclico e tutti i suoi sottogruppi sono ciclici e del tipo _k_  *Z* (_n_ ) dove _k_ è un divisore di _n_ inoltre per ogni _h_ divisore di _n_ esiste un sottogruppo di ordine _h_ dato da _k_ *Z* (_n_ ), esempio : i sottogruppi di (*Z* (12), +). Ordine di un gruppo. Caratterizzazione dei gruppi ciclici: i gruppi ciclici di ordine infinito sono isomorfi a (*Z* ,+), corollario tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico di ordine infinito sono ciclici.  Esercizi.

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 17 ottobre (Lezione 12 - ore 3)* </font> Caratterizzazione dei gruppi ciclici: Un gruppo ciclico di ordine n è isomorfo al gruppo ciclico ( *Z* (n),+), dunque corollario tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico finito sono ciclici. Esercizi. Relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo. Teorema di Lagrange: L'ordine di un sottogruppo di un gruppo di ordine _n_ divide _n_ . Sottogruppi normali e loro caratterizzazione, i nuclei dei morfismi sono sottogruppi normali, i sottogruppi di un un gruppo commutativo sono tutti normali. Esempi ed esercizi. Permutazioni: rappresentazione di una permutazione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Relazione di equivalenza individuata da una permutazione e sua rappresentazione come prodotto di cicli disgiunti, rappresentazione standard. Permutazioni cicliche, trasposizioni.

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 21 ottobre (Lezione 13 - ore 2)* </font> Ogni permutazione è il prodotto di trasposizioni. Il numero delle trasposizioni di cui una permutazione è il prodotto è sempre pari o sempre dispari (senza dimostrazione). Permutazioni pari e permutazioni dispari. Il gruppo alterno A(_n_) su _n_ elementi. Il numero delle permutazioni dispari è uguale a quello delle permutazioni pari e quindi l'insieme A(_n_) ha cardinalità _n_! /2. Il gruppo alterno è un sottogruppo normale di S(_n_). Ripassare e risolvere gli esercizi della [[%ATTACHURL%/Scheda_3-_Strutture_algebriche_con_una_operazione.pdf][Scheda 3: Strutture algebriche con una operazione]]

<font color="#AF0F0F">  *Mercoledì 23 ottobre (Lezione 14 - ore 2)* </font> Strutture algebriche con due operazioni : Anelli. Anelli unitari, commutativi. Sia _a_ un elemento di un anello allora: 0 _a_ = _a_ 0 = 0.  Divisori dello zero: esempi di anelli con divisori dello zero. Domini di Integrità.Massimo comune divisore MCD(_a_ , _b_) e minimo comune multiplo mcm(_a_, _b_) di due interi non entrambi nulli: esistenza ed unicità del minimo comune multiplo, esistenza ed unicità del massimo comune divisore e identità di Bézout, l'insieme S(_a_ , _b_) = { m &gt;0 : m = _a_ x+ _b_ y , x,y interi} è costituito da tutti i multipli del MCD(_a_, _b_ ).  Il MCD(_a_, _b_)  e il mcm(_a_, _b_) sono rispettivamente l'inf e sup di _a_ e _b_ nel reticolo (*N*, |).

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 24 ottobre (Lezione 15 - ore 3)* </font> Algoritmo di Euclide delle divisioni successive per il calcolo del massimo comun divisore e di una identità di Bézout : il  MCD(_a_ , _b_)  è l'ultimo resto non zero dell'algoritmo di Euclide. ([1] p. 46-50). Esempi. Definizione di numero primo. Proposizione fondamentale: Ogni intero _a_ è invertibile in ( *Z* (_n_)+, .) se e solo se MCD (_a_, _n_) = 1 (ossia  _a_ e _n_ sono coprimi).  Calcolo dell'inverso di un elemento non nullo di  *Z* (_n_), esempi. Campi, esempi. Un campo è privo di divisori dello zero. L'anello ( Z(_n_),+, .) è un campo se e solo se _n_ è un numero primo. Ogni numero naturale maggiore di 1 è primo o è il prodotto di numeri primi. Lemma: se _p_ è un numero primo  e _p_ divide  _ab_ allora _p_ divde a o _p_ diide _b_. Teorema fondamentale dell'aritmetica: Ogni numero naturale maggiore di 1 ha una unica espressione come prodotto di numeri primi. I numeri primi sono infiniti. Esercizi

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 28 ottobre (Lezione 16 - ore 2)* </font> Esercitazione su gruppi, sottogruppi, permutazioni.

<font color="#AF0F0F">  *Mercoledì 30 ottobre (Lezione 17 - ore 2)* </font> Equazioni diofantee:  condizione necessaria e sufficiente affinchè una equazione diofantea sia compatibile, calcolo dell'insieme delle soluzioni, esempi ed esercizi. Definizione della funzione di Eulero e gruppo U( *Z* (_n_)) degli elementi invertibili. Teorema di Eulero e corollario, una applicazione del teorema di Eulero.

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 31 ottobre (Lezione 18 - ore 3)* </font> Il principio di inclusione-esclusione: dimostrazione combinatoria, applicazioni: Calcolo del numero delle funzioni suriettive tra due insiemi finiti. Calcolo della funzione di Eulero. Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una delle sequenze assegnate. Il numero degli anagrammi come numero di classi di equivalenza dell'insieme delle permutazioni su _n_. Esempi ed esercizi. [[%ATTACHURL%/Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf][Principio di inclusione esclusione]] . Strutture algebriche con due operazioni: reticoli come strutture algebriche, assiomi. Teorema fondamentale sui reticoli.  Morfismi di reticoli, esempi. Principio di dualità . Funzione rango di un insieme parzialmente ordinato, proprietà di regolarità della funzione rango di un reticolo. La funzione rango del reticolo delle parti di un insieme. [[%ATTACHURL%/Reticoli.pdf][Reticoli]]

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 4 novembre (Lezione 19 - ore 2)* </font> Equazioni di primo grado nell'anello delle classi resto modulo n e loro significato in *Z*. Equazioni di primo grado in *Z* / n *Z*: condizione necessaria e sufficiente affinché un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni (un'equazione in *Z* / _n_ *Z* del tipo [a]x = [b] è compatibile se e solo se MCD( a,n)| b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d ; la soluzione [s] modulo n/d si ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d)). Esempi.

<font color="#AF0F0F">  *Mercoledì 6 novembre (Lezione 20 - ore 2)* </font> Anelli unitari e morfismi di anelli unitari, nucleo e immagine, teorema di omomorfismo per gli anelli. Struttura di anello indotta sul prodotto cartesiano di anelli. Sistemi di congruenze: le soluzioni in *Z* di un sistema costituito da due congruenze : x congruo _a_  modulo _m_ e  x congruo _b_  modulo _n_  con MCD (_m_ , _n_ ) = 1 appartengono tutte alla stessa classe di congruenza modulo _mn_ (Teorema cinese del resto). Dimostrazione tramite l'isomorfismo di anelli unitari F definito su *Z* / mn *Z* a valori nell'anello prodotto  (*Z* / m *Z*) x  (*Z* / n *Z*) definito da F[x] = ([x],[x]). F è un isomorfismo se e solo se MCD(m,n) = 1. Calcolo delle soluzioni in due modi, esempio. [[%ATTACHURL%/SISTEMI_DI_CONGRUENZE..pdf][SISTEMI DI CONGRUENZE]].

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 7 novembre (Lezione 21 - ore 3)* </font> Polinomi a coefficienti in un campo: variabili e indeterminate, grado di un polinomio, anello *K* [x] dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti nel campo *K* . Gli unici elementi invertibili di *K* [x] sono le costanti non nulle. L'anello *K* [x] non ha divisori dello zero. Teorema di divisione (senza dimostrazione). Radici di un polinomio, teorema della radice.  Teorema: Due polinomi p(x) e q(x) sono uguali se e solo se per ogni n in *N* p(n) = q(n).  Matrici. Il gruppo delle matrici di m righe e n colonne a coefficienti su un campo *K*. Prodotto righe per colonne e proprietà. L'anello unitario delle matrici quadrate a coefficienti nel campo *K*, divisori dello zero.   Matrici e sistemi lineari. Sottogruppi del gruppo alterno su 4 elementi.

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 11 novembre (Lezione 22 - ore 2)* </font> Definizione di spazio vettoriale su un campo *K* . Esempi: lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto, lo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo *K* , lo spazio dei polinomi *K* [x], lo spazio vettoriale delle matrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale, esempi. CNES affinché un sottoinsieme sia un sottospazio. L'intersezione di sottospazi è un sottospazio, spazio generato da un sottoinsieme. Combinazioni lineari. [[%ATTACHURL%/1.Spazi_vettoriali_prime_propriet.pdf][1.Spazi vettoriali prime proprietà]]

<font color="#AF0F0F">  *Mercoledì 13 novembre (Lezione 23 - ore 2)* </font> Esercizi su principio di inclusione-esclusione (anagrammi), morfismi, nucleo e immagine, congruenze

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 14 novembre (Lezione 24 - ore 3)* </font> Esercizi su gruppi e gruppi di permutazioni.

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 18 novembre : prova intermedia* </font> [[%ATTACHURL%/testo_Esonero.pdf][testo prova intermedia]]

<font color="#AF0F0F"><b>  *Mercoledì 20 novembre ( Lezione 25  - 2 ore)*  </b></font> L'unione di due sottospazi U e W è un sottospazio se e solo se U è contenuto in W oppure W è contenuto in U. Il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale. l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di un sottoinsieme S è un sottospazio che coincide con lo spazio generato da S. Somma di due sottospazi, la somma coincide con lo spazio generato dall'unione dei due sottospazi. Somme dirette, caratterizzazione della somma diretta di due sottospazi.

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 21 novembre (Lezione 26 - ore 3)* </font>Dipendenza e indipendenza lineare, esempi. Caratterizzazione degli insiemi dipendenti: un insieme S è dipendente se esiste una combinazione lineare non banale di vettori di S uguale al vettore nullo; caratterizzazione degli insiemi indipendenti: un insieme S è indipendente se l'unica combinazione lineare di vettori di S uguale al vettore nullo è quella banale. Se S è un insieme indipendente allora un vettore v non in S appartiene allo spazio generato da S se e solo se l'insieme costituito da v e dai vettori di S è dipendente. Base di uno spazio vettoriale, dimensione, esempi.  La dipendenza e l'indipendenza lineare dipendono dal campo *K*  su cui è definito la spazio vettoriale. Caratterizzazioni delle basi: un insieme è una base se e solo se è un insieme di generatori minimale, un insieme è una base se e solo se è un insieme indipendente massimale, un insieme B è una base se e solo se ogni vettore dello spazio può esprimersi in modo unico come combinazione lineare di vettori di B. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Ogni spazio vettoriale ammette una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione).  Applicazioni lineari, condizione necessaria e sufficiente affinché una applicazione L tra spazi vettoriali sullo stesso campo sia lineare (L è lineare se e solo se per ogni _a_  e _b_  scalari e per ogni v, w in V si ha L( _a_ v+ _b_ w) = _a_ L(v)+ _b_ L(w)). Nucleo e immagine, esempi.

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 25 novembre (Lezione 27 - ore 2)* </font> Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali. Isomorfismi. Una applicazione lineare è definita solo dai valori che assume su una base, esempi. Teorema fondamentale: "Ogni spazio vettoriale di dimensione  _n_ sul campo  *K* è isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di  *K* ". Corollario: "Due spazi vettoriali sullo stesso campo  *K* sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione". [[%ATTACHURL%/2._Insiemi_dipendenti_e_indipendenti_basi.pdf][2. Insiemi dipendenti e indipendenti basi]].Reticoli con funzione rango, analogia tra il concetto di cardinalità e quello di dimensione. Dati due spazi vettoriali V e V' con dimV = _n_ e dim V' = _m_ e dati una base B di V  e _n_ vettori di V' , esiste una sola applicazione lineare che manda  ordinatamente i vettori della base B negli _n_ vettori dati di V' .

<font color="#AF0F0F"><b>  *Mercoledì 27 novembre ( Lezione 28  - 2 ore)*  </b></font> Teorema del completamento (senza dimostrazione) : "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione _n_ e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t, è possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione (senza dimostrazione) :"Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi è possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V ". Formula di Grassmann. Esempi.

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 28 novembre (Lezione 29 - ore 3)* </font> In uno spazio vettoriale di dimensione _n_  è una base sia ogni insieme indipendente di  _n_ vettori e sia ogni sistema di generatori con _n_ elementi.  Esercizi su intersezione e somma di sottospazi. Proprietà delle applicazioni lineari: Data una applicazione lineare L da V in V' , l'immagine di un sottospazio di V è un sottospazio V', la controimmagine di un sottospazio di V' è un sottospazio di V, se S è un insieme dipendente di V allora L(S) è dipendente in V'. Una applicazione lineare L è iniettiva se e solo se muta insiemi indipendenti in insiemi indipendenti. Relazione tra la dimensione del nucleo e la dimensione dell'immagine di una applicazione lineare.  

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 2 dicembre (Lezione 30 - ore 2)* </font> L'applicazione lineare L(A) definita sullo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di K individuata dalla matrice A di m righe e n colonne. L'immagine di L(A) è generata dalle colonne di A e il nucleo di L(A) è costituito dalle soluzioni del sistema AX = 0. Esempi. Data una matrice A la dimensione dello spazio generato dalle righe di A si dice rango per righe di A, la dimensione dello spazio generato dalle colonne si dice rango per colonne di A, (dunque il rango per colonne è la dimensione dell'immagine di L(A)). Isomorfismo tra lo spazio vettoriale delle matrici _m_ x _n_ a coefficienti in *K* e lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari definite sullo spazio vettoriale delle _n_ -ple  di elementi di *K* a valori nello spazio vettoriale delle _m_ -ple di elementi di *K*  [[%ATTACHURL%/3.Applicazioni_lineari.pdf][3. Applicazioni lineari]]. La matrice associata alla composta L(B) o L(A) è la matrice  BA.

<font color="#AF0F0F"><b>  *Mercoledì 4 dicembre ( Lezione 31  - 2 ore)*  </b></font> Matrici a scala per righe, pivot, le righe non zero di una matrice a scala per righe S costituisce un insieme indipendente (dunque rr(S) è il numero delle righe non nulle). Risoluzione di un sistema lineare a scala SX = B: variabili libere e legate, il sistema a scala è compatibile se e solo se il rango per righe di S è uguale al rango per righe della matrice completa S|B, l'insieme delle soluzioni è in corrispondenza biunivoca con le (n-t)-ple di elementi di K , essendo n il numero delle incognite e t il rango per righe di S. Il rango per righe di una matrice a scala è uguale al rango per colonne. Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe di una matrice e sulle equazioni di un sistema lineare. Calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss, metodo che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Risoluzione di un sistema lineare AX = B con il metodo di Gauss, esempi. Il rango per righe di una matrice è uguale al suo rango per colonne. Teorema di Rouché-Capelli: Un sistema lineare AX = B è compatibile se e solo se la matrice dei coefficienti A e la matrice completa A|B hanno lo stesso rango. L'insieme delle soluzioni è in corrispondenza biunivoca con le (n-r(A))-ple di elementi di K e data una soluzione particolare Y (AY =B) ogni altra soluzione si può esprimere come (Y + H) dove H è una soluzione del sistema omogeneo associato AX = 0. Esempi.

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 5 dicembre (Lezione 32 - ore 3)* </font> Due dimostrazioni del Teorema di Rouché-Capelli: Un sistema lineare AX = B è compatibile se e solo se la matrice dei coefficienti A e la matrice completa A|B hanno lo stesso rango.Matrici quadrate invertibili, le seguenti affermazioni sono equivalenti: a) La matrice A di ordine n è invertibile. b) Per ogni i = 1,...n, indicata con I(i) l'i-esima colonna della matrice identità I, il sistema AX = I(i)  ha rango una sola soluzione. c) L'applicazione L(A) è invertibile, ossia è un isomorfismo. d) L'applicazione lineare L(A) è suriettiva,  n = dim Im L(A). e) lo spazio generato dalle colonne di A è tutto lo spazio vettoriale. f) Il sistema AX = B ha una sola soluzione. g) Il sistema AX = 0 ha solo la soluzione nulla. Esercizi su sistemi lineari e applicazioni lineari.

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 9  dicembre (Lezione 33 - ore 2)* </font>Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Isomorfismo tra lo spazio vettoriale  _L_ (V,V') delle applicazioni lineari da V in V' e lo spazio vettoriale delle matrici di m righe e n colonne,  esempi.  Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari [[%ATTACHURL%/4._Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf][4. Applicazioni lineari e matrici]]:

<font color="#AF0F0F">  *Mercoledì 11 dicembre ( lezione 34  - 2 ore)*  </font> Cambiamenti di coordinate in uno spazio vettoriale : matrice del passaggio dalla base B ad un'altra base B', calcolo della matrice del cambiamento di base da B a B' e della sua inversa, calcolo dell'inversa di una matrice A tramite la risoluzione di  _n_ sistemi lineari, esempi. Definizione della relazione di similitudine tra matrici quadrate dello stesso ordine, la relazione di similitudine è una relazione di equivalenza. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi.

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 12 dicembre (Lezione 35 - ore 3)* </font> La traccia di una matrice è invariante per similitudine, esempi. Il rango di una matrice è invariante per similitudine, rango di una applicazione lineare. Definizione di determinante come funzione d che ad ogni matrice quadrata di ordine _n_  associa un numero reale in modo che d(A') = - d(A) se A' è ottenuta da A scambiando 2 righe; d(A') = k d(A) se A' è ottenuta da A moltiplicando una riga per lo scalare k; det(A') = det(A) se A' è ottenuta da A sostituendo alla riga i-esima la stessa riga sommata ad un'altra moltiplicata per uno scalare; det(I) = 1. Proprietà della funzione  determinante, determinante di una matrice a scala. Il determinante di una matrice A è diverso da zero se e solo se il rango di A è massimo ( in tal caso la matrice si dice "non singolare"). Teorema di Binet (senza dimostrazione)d(AB) = d(A) d(B), determinante della matrice inversa.Minore di una matrice quadrata, complemento algebrico e calcolo del determinante con la regola di Laplace.  Esistenza e unicità della funzione determinante. Determinante della trasposta di una matrice.

<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 16 dicembre (Lezione 36 - ore 2)* </font> Il determinante di una matrice A è diverso da zero se e solo se A è invertibile. Determinate dell'inversa di una matrice. Teorema di Cramer.  Calcolo del rango di una matrice con un parametro.  Aggiunta di una matrice e  calcolo dell'inversa tramite la matrice aggiunta ( A Agg(A) = d(A) I ). Calcolo dell'inversa tramite il metodo di Gauss. Il determinante è invariante per similitudine [[%ATTACHURL%/5.Determinanti.pdf][5.Determinanti]].

<font color="#AF0F0F">  *Mercoledì 18 dicembre ( lezione 37  - 2 ore)*  </font>  Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e sua invarianza per similitudine, molteplicità algebrica di un autovalore. Calcolo degli autovalori e degli autovettori di matrici e endomorfismi, esempi.La molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale alla molteplicità algebrica.

<font color="#AF0F0F">  *Giovedì 19 dicembre (Lezione 38 - ore 3)* </font>Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) L'endomorfismo  L di V è diagonalizzabile. b) Lo spazio vettoriale V ha una base formata da autovettori di L. c) V è somma diretta degli autospazi di L. d)  La molteplicità geometrica di ogni autovalore di L  coincide con la sua molteplicità algebrica e la somma delle molteplicità geometriche di tutti gli autovalori è uguale alla dimensione di V.  Esercizi. [[%ATTACHURL%/6.Diagonalizzazione.pdf][6. Diagonalizzazione]]

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<font color="#AF0F0F">  *Mercoledì 12 dicembre ( lezione 35  - 3 ore)*  </font> 
<font color="#AF0F0F">  *Venerdì 14 dicembre  (Lezione 31 - 2,5 ore)* </font> Teorema di Binet: d(AB) = d(A) d(B). esempi. Teorema degli orlati: Una matrice A di _m_  righe e _n_ colonne ha rango _r_ se e solo se A ha una sottomatrice A'  di ordine _r_ non singolare e tutte le sottomatrici ottenute orlando A' sono tutte singolari.
<font color="#AF0F0F">  *Lunedì 17 dicembre  (Lezione 32 - 2,5 ore)* </font> . Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e sua invarianza per similitudine, molteplicità algebrica di un autovalore. Calcolo degli autovalori e degli autovettori di matrici e endomorfismi, esempi.

<font color="#AF0F0F"><b>  Mercoledì 19 dicembre ( lezione 33  - 2,5 ore)  </b></font>  Il polinomio caratteristico di una matrice A di ordine _n_ ha grado _n_ e il suo termine noto è d(A).  . Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) L'endomorfismo  L di V è diagonalizzabile. b) Lo spazio vettoriale V ha una base formata da autovettori di L. c) V è somma diretta degli autospazi di L. d)  La molteplicità geometrica di ogni autovalore di L  coincide con la sua molteplicità algebrica e la somma delle molteplicità geometriche di tutti gli autovalori è uguale alla dimensione di V.  Esercizi.
[[%ATTACHURL%/6.Diagonalizzazione.pdf][6. Diagonalizzazione]]

<font color="#AF0F0F">  *Venerdì 21 dicembre  (Lezione 34 - 2,5 ore)* </font> Esercizi su applicazioni lineari e matrici associate, diagonalizzazione, matrici simili.

.<br /><br />Lunedi 24 ottobre (Lezione 10) - . Riguardo ai coefficienti binomiali si possono consultare le dispense del corso di Combinatoria di Körner e Malvenuto, pag. 25 e seguenti).<br /><br />Mercoledì 26 ottobre



   *[[%ATTACHURL%/Scheda_1-_Concetti_fondamentali.pdf][Scheda_1-_Concetti_fondamentali.pdf]]: Scheda 1 : Concetti fondamentali


   * [[%ATTACHURL%/I_numeri_naturali_e_il_teorema_di_divisione_in_Z.pdf][I numeri naturali e il teorema di divisione per gli interi ]]: Numeri naturali e il teorema di divisione

   * [[%ATTACHURL%/Scheda_2-_Funzioni.pdf][Scheda_2-_Funzioni.pdf]]: Scheda 2: Funzioni

   * [[%ATTACHURL%/Scheda_3-_Strutture_algebriche_con_una_operazione.pdf][Scheda_3-_Strutture_algebriche_con_una_operazione.pdf]]: Schda 3 : strutture algebriche con una operazione

   * [[%ATTACHURL%/Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf][Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf]]: Principio di inclusione esclusione
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   * [[%ATTACHURL%/SISTEMI_DI_CONGRUENZE..pdf][SISTEMI DI CONGRUENZE]]: sistemi di congruenze

   * [[%ATTACHURL%/Esonero_21-11-18.pdf][Prova intermedia]]: Prova intermedia

   * [[%ATTACHURL%/1.Spazi_vettoriali_prime_propriet.pdf][1.Spazi vettoriali prime proprietà]]: Spazi vettoriali prime proprietà

   * [[%ATTACHURL%/2._Insiemi_dipendenti_e_indipendenti_basi.pdf][2. Insiemi dipendenti e indipendenti basi]]: Insiemi indipendenti, dipendenti, basi

   * [[%ATTACHURL%/3.Applicazioni_lineari.pdf][3. Applicazioni lineari]]: 4. Applicazioni Lineari

   * [[%ATTACHURL%/4._Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf][4. Applicazioni lineari e matrici]]: Applicazioni lineari e matrici

   * [[%ATTACHURL%/5.Determinanti.pdf][5.Determinanti]]: 5. Determinanti

   * [[%ATTACHURL%/6.Diagonalizzazione.pdf][6. Diagonalizzazione]: 6. Diagonalizzazione

   * [[%ATTACHURL%/Reticoli.pdf][Reticoli]]: reticoli

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