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DIARIO delle LEZIONI

-- Antonietta Venezia - 2019-09-22

Lunedý 23 settembre (Lezione 1 -2 ore) - Informazioni sul corso (testi, modalitÓ di esame, ricevimento) Presentazione del programma. Concetti fondamentali: insiemi (assegnare un insieme), prodotto cartesiano e coppie ordinate, relazioni tra insiemi e relazione duale, definizione di una funzione come terna ordinata ed esempi, relazioni su un insieme. Insiemi parzialmente ordinati, totalmente ordinati, esempi.

Mercoledý 25 settembre (Lezione 2- 2 ore) - Insiemi parzialmente ordinati, esempi: l'insieme delle parti di un insieme, i numeri naturali ordinati dalla divisibilitÓ, le n-ple di numeri reali. Ogni insieme pu˛ essere totalmente ordinato (senza dimostrazione). Le proprietÓ che definiscono una relazione d'ordine sono indipendenti. Diagrammi di Hasse, esempi - Relazioni di equivalenza. Esempi: la relazione di congruenza modulo un intero n, relazione di equivalenza individuata da una funzione f ( nucleo di equivalenza di f ), relazione di equivalenza in N x N.

Giovedý 26 settembre (Lezione 3- 3 ore) - Le proprietÓ che definiscono le relazioni di equivalenza sono indipendenti. Partizioni, classi di equivalenza e insieme quoziente, esempi. Biezione naturale tra le relazioni di equivalenza su un insieme A e le partizioni di A. ([1] p. 7-17). L'insieme parzialmente ordinato delle partizioni (raffinamento). Proiezione canonica di A nel suo quoziente, sezione e assioma della scelta (data una partizione di un insieme Ŕ sempre possibile scegliere un rappresentante per ogni classe ). L'assioma della scelta Ŕ equivalente al teorema del buon ordinamento (Ogni insieme non vuoto pu˛ essere totalmente ordinato in modo che ogni suo sottoinsieme non vuoto abbia un primo elemento). Risolvere gli esercizi della Scheda 1:Concetti fondamentali

Lunedý 30 settembre (Lezione 4- ore 2) Sezioni: esempio N x N con la relazione (a,b) Ŕ equivalente a (c,d) se e solo se a+d =b+ c. Immagine di una funzione, funzioni iniettive, funzioni suriettive, biunivoche. CardinalitÓ. Insiemi di funzioni e cardinalitÓ. Composizione di funzioni e proprietÓ. Ogni funzione pu˛ esprimersi come composta di una funzione suriettiva e di una iniettiva, esempi. Teorema di omomorfsmo per gli insiemi. esempi.

Mercoledý 2 ottobre (Lezione 5- ore 2) Dimostrazioni biettive. Funzione caratteristica di un sottoinsieme e biiezione tra l'insieme delle parti di un insieme A e l'insieme delle funzioni da A in un insieme con 2 elementi. Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi, formula di Pascal. Il teorema binomiale e sua dimostrazione biiettiva. Operazioni su un insieme e strutture algebriche, classificazione: semigruppi, monoidi, esempi: il monoide delle endofunzioni, insieme delle parti con l'unione e insieme delle parti con intersezione. Gruppi, esempi.

Giovedý 3 ottobre (Lezione 6- ore 3) Morfismi di strutture algebriche, di monoidi, di gruppi. Caratterizzazione dei morfismi di gruppi, esempi. Isomorfismi. La funzione complementare come isomorfismo dal monoide insieme delle parti con unione nel monoide insieme delle parti con l'intersezione. Definizione assiomatica dei numeri naturali N secondo Peano. Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni, definizione delle iterazioni di una endofunzione e delle iterazioni di una operazione in un monoide. ProprietÓ della funzione successore. Il monoide (N ,+) e legge di cancellazione. Il monoide (N -{0}, .) e legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su N , l'insieme dei naturali con tale relazione Ŕ totalmente ordinato e le operazioni di addizione e moltiplicazione sono isotone. Altro enunciato del principio di induzione: U Ŕ un sottoinsieme di N tale che : (i) m Ŕ un elemento di U, (ii) se n, minore o uguale a m , appartiene ad U allora anche (n +1) ; risulta necessariamente U = N - [0, m [.

Lunedý 7 ottobre (Lezione 7 - ore 2) L'insieme dei numeri naturali N Ŕ ben ordinato, ossia la relazione d'ordine naturale Ŕ totale e ogni sottoinsieme non vuoto ha un primo elemento (dimostrazione per assurdo) ([1] -p.22-28) Corollario: non esiste alcun numero naturale n tale che 0<n<1.Fattoriale decrescente e cardinalitÓ dell'insieme delle funzioni iniettive da un insieme con n elementi in un insieme con r elementi; relazione tra coefficiente binomiale e fattoriale decrescente ([3] -p.12-13). Teorema: Dato un monoide (M,*) e dato un elemento a di M, esiste un solo morfismo di monoidi f dal monoide ( N ,+) al monoide (M,*) tale che f (1) = a . Sottostrutture algebriche, sottomonoidi, sottogruppi; esempi.Condizione necessaria e sufficiente affinchŔ un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo. Struttura algebrica su A x A indotta da una struttura algebrica su A.

Mercoledý 9 ottobre (Lezione 8 - ore 2) Definizione di congruenza rispetto ad una operazione. La congruenza su (N x N, +) il cui quoziente Ŕ isomorfo al monoide ( Z,+). Anelli, anelli unitari, anelli commutativi. L'anello degli interi, teorema di divisione e sua dimostrazione mediante il principio del buon ordinamento. I numeri naturali e il teorema di divisione per gli interi

Giovedý 10 ottobre (Lezione 9 - ore 3) La congruenza modulo n sull'anello degli interi. L'anello ( Z (n), +, .,) dei resti della divisione per n, tavole di composizione, esempi. Criteri di divisibilitÓ per 3, per 5 per 10, per 11. La relazione di equivalenza individuata da un morfismo f di strutture algebriche sul dominio (nucleo di equivalenza di f ) Ŕ una congruenza e quindi sul quoziente Ŕ possibile definire una operazione tra classi ponendo [ a ] . [ b ] = [ a.b ]. Teoremi di omomorfismo per le strutture algebriche, i monoidi, esempi. Dato un morfismo di gruppi f di dominio G e codominio G', la classe di equivalenza [ 1 ], costituita dagli elementi u di G la cui immagine Ŕ l'unitÓ del gruppo G' Ŕ un sottogruppo di G che si chiama nucleo di f e si indica con Ker f. ,inoltre la classe di equivalenza [ a ], costituita dagli elementi di G che hanno la stessa immagine di a ,Ŕ uguale all'insieme a (Ker f ) = Ker f (a) e si ha |Ker f |= |[ a ]|. L'immagine del morfismo f Ŕ un sottogruppo di G', teorema di omomorfismo per i gruppi, esempi. Ripassare e risolvere gli esercizi della Scheda 2: Funzioni

Lunedý 14 ottobre (Lezione 10 - ore 2) Dato un gruppo (G,*) e dato un elemento a di G, esiste un solo morfismo di gruppi f di dominio (Z,+) in G tale che f (1) = a .Sottogruppi di un gruppo: l'intersezione di sottogruppi Ŕ un sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme e sue proprietÓ. Definizione dei reticolo, il reticolo dei sottoinsiemi di un insieme, il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. Gruppi ciclici, tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. I sottogruppi di (Z,+) sono tutti e soli del tipo n Z.

Mercoledý 16 ottobre (Lezione 11 - ore 2) Il gruppo ( Z (n) , + ) Ŕ ciclico e tutti i suoi sottogruppi sono ciclici e del tipo k Z (n ) dove k Ŕ un divisore di n inoltre per ogni h divisore di n esiste un sottogruppo di ordine h dato da k Z (n ), esempio : i sottogruppi di (Z (12), +). Ordine di un gruppo. Caratterizzazione dei gruppi ciclici: i gruppi ciclici di ordine infinito sono isomorfi a (Z ,+), corollario tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico di ordine infinito sono ciclici. Esercizi.

Giovedý 17 ottobre (Lezione 12 - ore 3) Caratterizzazione dei gruppi ciclici: Un gruppo ciclico di ordine n Ŕ isomorfo al gruppo ciclico ( Z (n),+), dunque corollario tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico finito sono ciclici. Esercizi. Relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo. Teorema di Lagrange: L'ordine di un sottogruppo di un gruppo di ordine n divide n . Sottogruppi normali e loro caratterizzazione, i nuclei dei morfismi sono sottogruppi normali, i sottogruppi di un un gruppo commutativo sono tutti normali. Esempi ed esercizi. Permutazioni: rappresentazione di una permutazione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Relazione di equivalenza individuata da una permutazione e sua rappresentazione come prodotto di cicli disgiunti, rappresentazione standard. Permutazioni cicliche, trasposizioni.

Lunedý 21 ottobre (Lezione 13 - ore 2) Ogni permutazione Ŕ il prodotto di trasposizioni. Il numero delle trasposizioni di cui una permutazione Ŕ il prodotto Ŕ sempre pari o sempre dispari (senza dimostrazione). Permutazioni pari e permutazioni dispari. Il gruppo alterno A(n) su n elementi. Il numero delle permutazioni dispari Ŕ uguale a quello delle permutazioni pari e quindi l'insieme A(n) ha cardinalitÓ n! /2. Il gruppo alterno Ŕ un sottogruppo normale di S(n). Ripassare e risolvere gli esercizi della Scheda 3: Strutture algebriche con una operazione

Mercoledý 23 ottobre (Lezione 14 - ore 2) Strutture algebriche con due operazioni : Anelli. Anelli unitari, commutativi. Sia a un elemento di un anello allora: 0 a = a 0 = 0. Divisori dello zero: esempi di anelli con divisori dello zero. Domini di IntegritÓ.Massimo comune divisore MCD(a , b) e minimo comune multiplo mcm(a, b) di due interi non entrambi nulli: esistenza ed unicitÓ del minimo comune multiplo, esistenza ed unicitÓ del massimo comune divisore e identitÓ di BÚzout, l'insieme S(a , b) = { m >0 : m = a x+ b y , x,y interi} Ŕ costituito da tutti i multipli del MCD(a, b ). Il MCD(a, b) e il mcm(a, b) sono rispettivamente l'inf e sup di a e b nel reticolo (N, |).

Giovedý 24 ottobre (Lezione 15 - ore 3) Algoritmo di Euclide delle divisioni successive per il calcolo del massimo comun divisore e di una identitÓ di BÚzout : il MCD(a , b) Ŕ l'ultimo resto non zero dell'algoritmo di Euclide. ([1] p. 46-50). Esempi. Definizione di numero primo. Proposizione fondamentale: Ogni intero a Ŕ invertibile in ( Z (n)+, .) se e solo se MCD (a, n) = 1 (ossia a e n sono coprimi). Calcolo dell'inverso di un elemento non nullo di Z (n), esempi. Campi, esempi. Un campo Ŕ privo di divisori dello zero. L'anello ( Z(n),+, .) Ŕ un campo se e solo se n Ŕ un numero primo. Ogni numero naturale maggiore di 1 Ŕ primo o Ŕ il prodotto di numeri primi. Lemma: se p Ŕ un numero primo e p divide ab allora p divde a o p diide b. Teorema fondamentale dell'aritmetica: Ogni numero naturale maggiore di 1 ha una unica espressione come prodotto di numeri primi. I numeri primi sono infiniti. Esercizi

Lunedý 28 ottobre (Lezione 16 - ore 2) Esercitazione su gruppi, sottogruppi, permutazioni.

Mercoledý 30 ottobre (Lezione 17 - ore 2) Equazioni diofantee: condizione necessaria e sufficiente affinchŔ una equazione diofantea sia compatibile, calcolo dell'insieme delle soluzioni, esempi ed esercizi. Definizione della funzione di Eulero e gruppo U( Z (n)) degli elementi invertibili. Teorema di Eulero e corollario, una applicazione del teorema di Eulero.

Giovedý 31 ottobre (Lezione 18 - ore 3) Il principio di inclusione-esclusione: dimostrazione combinatoria, applicazioni: Calcolo del numero delle funzioni suriettive tra due insiemi finiti. Calcolo della funzione di Eulero. Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una delle sequenze assegnate. Il numero degli anagrammi come numero di classi di equivalenza dell'insieme delle permutazioni su n. Esempi ed esercizi. Principio di inclusione esclusione . Strutture algebriche con due operazioni: reticoli come strutture algebriche, assiomi. Teorema fondamentale sui reticoli. Morfismi di reticoli, esempi. Principio di dualitÓ . Funzione rango di un insieme parzialmente ordinato, proprietÓ di regolaritÓ della funzione rango di un reticolo. La funzione rango del reticolo delle parti di un insieme. Reticoli

Lunedý 4 novembre (Lezione 19 - ore 2) Equazioni di primo grado nell'anello delle classi resto modulo n e loro significato in Z. Equazioni di primo grado in Z / n Z: condizione necessaria e sufficiente affinchÚ un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni (un'equazione in Z / n Z del tipo [a]x = [b] Ŕ compatibile se e solo se MCD( a,n)| b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d ; la soluzione [s] modulo n/d si ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d)). Esempi.

Mercoledý 6 novembre (Lezione 20 - ore 2) Anelli unitari e morfismi di anelli unitari, nucleo e immagine, teorema di omomorfismo per gli anelli. Struttura di anello indotta sul prodotto cartesiano di anelli. Sistemi di congruenze: le soluzioni in Z di un sistema costituito da due congruenze : x congruo a modulo m e x congruo b modulo n con MCD (m , n ) = 1 appartengono tutte alla stessa classe di congruenza modulo mn (Teorema cinese del resto). Dimostrazione tramite l'isomorfismo di anelli unitari F definito su Z / mn Z a valori nell'anello prodotto (Z / m Z) x (Z / n Z) definito da F[x] = ([x],[x]). F Ŕ un isomorfismo se e solo se MCD(m,n) = 1. Calcolo delle soluzioni in due modi, esempio. SISTEMI DI CONGRUENZE.

Giovedý 7 novembre (Lezione 21 - ore 3) Polinomi a coefficienti in un campo: variabili e indeterminate, grado di un polinomio, anello K [x] dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti nel campo K . Gli unici elementi invertibili di K [x] sono le costanti non nulle. L'anello K [x] non ha divisori dello zero. Teorema di divisione (senza dimostrazione). Radici di un polinomio, teorema della radice. Teorema: Due polinomi p(x) e q(x) sono uguali se e solo se per ogni n in N p(n) = q(n). Matrici. Il gruppo delle matrici di m righe e n colonne a coefficienti su un campo K. Prodotto righe per colonne e proprietÓ. L'anello unitario delle matrici quadrate a coefficienti nel campo K, divisori dello zero. Matrici e sistemi lineari. Sottogruppi del gruppo alterno su 4 elementi.

Lunedý 11 novembre (Lezione 22 - ore 2) Definizione di spazio vettoriale su un campo K . Esempi: lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto, lo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo K , lo spazio dei polinomi K [x], lo spazio vettoriale delle matrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale, esempi. CNES affinchÚ un sottoinsieme sia un sottospazio. L'intersezione di sottospazi Ŕ un sottospazio, spazio generato da un sottoinsieme. Combinazioni lineari.1.Spazi vettoriali prime proprietÓ

Mercoledý 13 novembre (Lezione 23 - ore 2) Esercizi su principio di inclusione-esclusione (anagrammi), morfismi, nucleo e immagine, congruenze

Giovedý 14 novembre (Lezione 24 - ore 3) Esercizi su gruppi e gruppi di permutazioni.

Lunedý 18 novembre : prova intermedia testo prova intermedia

Mercoledý 20 novembre ( Lezione 25 - 2 ore) L'unione di due sottospazi U e W Ŕ un sottospazio se e solo se U Ŕ contenuto in W oppure W Ŕ contenuto in U. Il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale. l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di un sottoinsieme S Ŕ un sottospazio che coincide con lo spazio generato da S. Somma di due sottospazi, la somma coincide con lo spazio generato dall'unione dei due sottospazi. Somme dirette, caratterizzazione della somma diretta di due sottospazi.

Giovedý 21 novembre (Lezione 26 - ore 3) Dipendenza e indipendenza lineare, esempi. Caratterizzazione degli insiemi dipendenti: un insieme S Ŕ dipendente se esiste una combinazione lineare non banale di vettori di S uguale al vettore nullo; caratterizzazione degli insiemi indipendenti: un insieme S Ŕ indipendente se l'unica combinazione lineare di vettori di S uguale al vettore nullo Ŕ quella banale. Se S Ŕ un insieme indipendente allora un vettore v non in S appartiene allo spazio generato da S se e solo se l'insieme costituito da v e dai vettori di S Ŕ dipendente. Base di uno spazio vettoriale, dimensione, esempi. La dipendenza e l'indipendenza lineare dipendono dal campo K su cui Ŕ definito la spazio vettoriale. Caratterizzazioni delle basi: un insieme Ŕ una base se e solo se Ŕ un insieme di generatori minimale, un insieme Ŕ una base se e solo se Ŕ un insieme indipendente massimale, un insieme B Ŕ una base se e solo se ogni vettore dello spazio pu˛ esprimersi in modo unico come combinazione lineare di vettori di B. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Ogni spazio vettoriale ammette una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalitÓ (senza dimostrazione). Applicazioni lineari, condizione necessaria e sufficiente affinchÚ una applicazione L tra spazi vettoriali sullo stesso campo sia lineare (L Ŕ lineare se e solo se per ogni a e b scalari e per ogni v, w in V si ha L( a v+ b w) = a L(v)+ b L(w)). Nucleo e immagine, esempi.

Lunedý 25 novembre (Lezione 27 - ore 2) Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali. Isomorfismi. Una applicazione lineare Ŕ definita solo dai valori che assume su una base, esempi. Teorema fondamentale: "Ogni spazio vettoriale di dimensione n sul campo K Ŕ isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di K ". Corollario: "Due spazi vettoriali sullo stesso campo K sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione". 2. Insiemi dipendenti e indipendenti basi.Reticoli con funzione rango, analogia tra il concetto di cardinalitÓ e quello di dimensione. Dati due spazi vettoriali V e V' con dimV = n e dim V' = m e dati una base B di V e n vettori di V' , esiste una sola applicazione lineare che manda ordinatamente i vettori della base B negli n vettori dati di V' .

Mercoledý 27 novembre ( Lezione 28 - 2 ore) Teorema del completamento (senza dimostrazione) : "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t, Ŕ possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione (senza dimostrazione) :"Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi Ŕ possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V ". Formula di Grassmann. Esempi.

Giovedý 28 novembre (Lezione 29 - ore 3) In uno spazio vettoriale di dimensione n Ŕ una base sia ogni insieme indipendente di n vettori e sia ogni sistema di generatori con n elementi. Esercizi su intersezione e somma di sottospazi. ProprietÓ delle applicazioni lineari: Data una applicazione lineare L da V in V' , l'immagine di un sottospazio di V Ŕ un sottospazio V', la controimmagine di un sottospazio di V' Ŕ un sottospazio di V, se S Ŕ un insieme dipendente di V allora L(S) Ŕ dipendente in V'. Una applicazione lineare L Ŕ iniettiva se e solo se muta insiemi indipendenti in insiemi indipendenti. Relazione tra la dimensione del nucleo e la dimensione dell'immagine di una applicazione lineare.

Lunedý 2 dicembre (Lezione 30 - ore 2) L'applicazione lineare L(A) definita sullo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di K individuata dalla matrice A di m righe e n colonne. L'immagine di L(A) Ŕ generata dalle colonne di A e il nucleo di L(A) Ŕ costituito dalle soluzioni del sistema AX = 0. Esempi. Data una matrice A la dimensione dello spazio generato dalle righe di A si dice rango per righe di A, la dimensione dello spazio generato dalle colonne si dice rango per colonne di A, (dunque il rango per colonne Ŕ la dimensione dell'immagine di L(A)). Isomorfismo tra lo spazio vettoriale delle matrici m x n a coefficienti in K e lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari definite sullo spazio vettoriale delle n -ple di elementi di K a valori nello spazio vettoriale delle m -ple di elementi di K 3. Applicazioni lineari. La matrice associata alla composta L(B) o L(A) Ŕ la matrice BA.

Mercoledý 4 dicembre ( Lezione 31 - 2 ore) Matrici a scala per righe, pivot, le righe non zero di una matrice a scala per righe S costituisce un insieme indipendente (dunque rr(S) Ŕ il numero delle righe non nulle). Risoluzione di un sistema lineare a scala SX = B: variabili libere e legate, il sistema a scala Ŕ compatibile se e solo se il rango per righe di S Ŕ uguale al rango per righe della matrice completa S|B, l'insieme delle soluzioni Ŕ in corrispondenza biunivoca con le (n-t)-ple di elementi di K , essendo n il numero delle incognite e t il rango per righe di S. Il rango per righe di una matrice a scala Ŕ uguale al rango per colonne. Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe di una matrice e sulle equazioni di un sistema lineare. Calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss, metodo che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Risoluzione di un sistema lineare AX = B con il metodo di Gauss, esempi. Il rango per righe di una matrice Ŕ uguale al suo rango per colonne. Teorema di RouchÚ-Capelli: Un sistema lineare AX = B Ŕ compatibile se e solo se la matrice dei coefficienti A e la matrice completa A|B hanno lo stesso rango. L'insieme delle soluzioni Ŕ in corrispondenza biunivoca con le (n-r(A))-ple di elementi di K e data una soluzione particolare Y (AY =B) ogni altra soluzione si pu˛ esprimere come (Y + H) dove H Ŕ una soluzione del sistema omogeneo associato AX = 0. Esempi.

Giovedý 5 dicembre (Lezione 32 - ore 3) Due dimostrazioni del Teorema di RouchÚ-Capelli: Un sistema lineare AX = B Ŕ compatibile se e solo se la matrice dei coefficienti A e la matrice completa A|B hanno lo stesso rango.Matrici quadrate invertibili, le seguenti affermazioni sono equivalenti: a) La matrice A di ordine n Ŕ invertibile. b) Per ogni i = 1,...n, indicata con I(i) l'i-esima colonna della matrice identitÓ I, il sistema AX = I(i) ha rango una sola soluzione. c) L'applicazione L(A) Ŕ invertibile, ossia Ŕ un isomorfismo. d) L'applicazione lineare L(A) Ŕ suriettiva, n = dim Im L(A). e) lo spazio generato dalle colonne di A Ŕ tutto lo spazio vettoriale. f) Il sistema AX = B ha una sola soluzione. g) Il sistema AX = 0 ha solo la soluzione nulla. Esercizi su sistemi lineari e applicazioni lineari.

Lunedý 9 dicembre (Lezione 33 - ore 2) Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Isomorfismo tra lo spazio vettoriale L (V,V') delle applicazioni lineari da V in V' e lo spazio vettoriale delle matrici di m righe e n colonne, esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari4. Applicazioni lineari e matrici:

Mercoledý 11 dicembre ( lezione 34 - 2 ore) Cambiamenti di coordinate in uno spazio vettoriale : matrice del passaggio dalla base B ad un'altra base B', calcolo della matrice del cambiamento di base da B a B' e della sua inversa, calcolo dell'inversa di una matrice A tramite la risoluzione di n sistemi lineari, esempi. Definizione della relazione di similitudine tra matrici quadrate dello stesso ordine, la relazione di similitudine Ŕ una relazione di equivalenza. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi.

Giovedý 12 dicembre (Lezione 35 - ore 3) La traccia di una matrice Ŕ invariante per similitudine, esempi. Il rango di una matrice Ŕ invariante per similitudine, rango di una applicazione lineare. Definizione di determinante come funzione d che ad ogni matrice quadrata di ordine n associa un numero reale in modo che d(A') = - d(A) se A' Ŕ ottenuta da A scambiando 2 righe; d(A') = k d(A) se A' Ŕ ottenuta da A moltiplicando una riga per lo scalare k; det(A') = det(A) se A' Ŕ ottenuta da A sostituendo alla riga i-esima la stessa riga sommata ad un'altra moltiplicata per uno scalare; det(I) = 1. ProprietÓ della funzione determinante, determinante di una matrice a scala. Il determinante di una matrice A Ŕ diverso da zero se e solo se il rango di A Ŕ massimo ( in tal caso la matrice si dice "non singolare"). Teorema di Binet (senza dimostrazione)d(AB) = d(A) d(B), determinante della matrice inversa.Minore di una matrice quadrata, complemento algebrico e calcolo del determinante con la regola di Laplace. Esistenza e unicitÓ della funzione determinante. Determinante della trasposta di una matrice.

Lunedý 16 dicembre (Lezione 36 - ore 2) Il determinante di una matrice A Ŕ diverso da zero se e solo se A Ŕ invertibile. Determinate dell'inversa di una matrice. Teorema di Cramer. Calcolo del rango di una matrice con un parametro. Aggiunta di una matrice e calcolo dell'inversa tramite la matrice aggiunta ( A Agg(A) = d(A) I ). Calcolo dell'inversa tramite il metodo di Gauss. Il determinante Ŕ invariante per similitudine 5.Determinanti.

Mercoledý 18 dicembre ( lezione 37 - 2 ore) di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicitÓ geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V Ŕ diagonalizzabile se e solo se Ŕ possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e sua invarianza per similitudine, molteplicitÓ algebrica di un autovalore. Calcolo degli autovalori e degli autovettori di matrici e endomorfismi, esempi.La molteplicitÓ geometrica di un autovalore Ŕ minore o uguale alla molteplicitÓ algebrica.

Giovedý 12 dicembre (Lezione 38 - ore 3) Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) L'endomorfismo L di V Ŕ diagonalizzabile. b) Lo spazio vettoriale V ha una base formata da autovettori di L. c) V Ŕ somma diretta degli autospazi di L. d) La molteplicitÓ geometrica di ogni autovalore di L coincide con la sua molteplicitÓ algebrica e la somma delle molteplicitÓ geometriche di tutti gli autovalori Ŕ uguale alla dimensione di V. Esercizi.6. Diagonalizzazione

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