DIARIO DELLE LEZIONI

Lunedì settembre 29 (Lezione 1) - Informazioni sul corso (testi, modalità di esame, ricevimento) Presentazione del programma. Concetti fondamentali: insiemi, prodotto cartesiano, strutture algebriche, relazioni tra insiemi, funzioni come relazioni. Immagine di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.

Mercoledì 30 settembre (Lezione 2) - Insiemi di funzioni e loro cardinalità. Composizione di funzioni, esempi. Monoidi, esempi. Relazioni su un insieme, relazione duale, esempi. Relazioni d'ordine, le proprietà che definiscono una relazione d'ordine sono indipendenti. Relazioni totali o lineari.

Venerdì 2 ottobre (Lezione 3) - Insiemi parzialmente ordinati, intervalli, esempi. L'insieme dei numeri naturali non nulli N ordinato dalla divisibilità. Diagrammi di Hasse, esempi. Definizione di reticolo come insieme parzialmente ordinato: il reticolo dei sottoinsiemi di un insieme e l'insieme dei naturali ordinato dalla divisibilità. Operazioni di inf e sup in un reticolo, loro proprietà: idempotenza (L1), commutativa(L2), associativa (L3), distributiva (L4). assorbimento (L5). Le proprietà L1,L2,L3,L4 caratterizzano i reticoli come strutture algebriche.

Lunedì 5 ottobre (Lezione 4) - Ulteriori proprietà dei reticoli: le operazioni sono isotone, principio di dualità. Disuguaglianze distributive e modulari. Reticoli distributivi. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, esempi di relazioni di equivalenza: la relazione di equipotenza tra insiemi, la relazione di congruenza modulo n sull'insieme degli interi, gli interi come quoziente di N x N. Le proprietà che definiscono una relazione di equivalenza sono indipendenti. Esercizi e complementi: Reticoli

Mercoledì 7 ottobre (Lezione 5) Partizioni di un insieme. Proprietà delle relazioni di equivalenza: classi di equivalenza, rappresentanti e insieme quoziente. Biiezione " naturale " tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle relazioni di equivalenza, esempi.

Venerdì 9 ottobre (Lezione 6) - Morfismi e isomorfismi di insiemi parzialmente ordinati e di reticoli. Funzioni monotone, esempi. Insiemi parzialmente ordinati prodotto. Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Il reticolo dell'insieme delle parti di un insieme A è isomorfo al reticolo delle funzioni su A a valori 0 o 1.

Lunedì 12 ottobre (Lezione 7) - Proiezione sul quoziente, sezioni, assioma della scelta, esempi. Inversa destra e inversa sinistra di una applicazione. Una sezione è un'inversa destra della proiezione. Teorema di omomorfismo per gli insiemi. Teorema di decomposizione delle applicazioni: ogni funzione può essere espressa come composizione di una applicazione iniettiva con una suriettiva. Risolvere gli esercizi della Scheda 1

Mercoledì 14 ottobre (Lezione 8) - Definizione assiomatica dei numeri naturali secondo Peano. Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni, definizione delle iterazioni di una endofunzione e delle iterazioni di una operazione in un monoide. Proprietà della funzione successore. Il monoide ( N ,+) e legge di cancellazione. Il monoide ( N -{0}, . ) e legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su N - Principio del buon ordinamento.

Venerdì 16 ottobre - Sospensione dell'attività didattica

Lunedì 19 ottobre (Lezione 9) - Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi: formula di Pascal. Dimostrazione biiettiva del Teorema binomiale. Il principio di inclusione -esclusione: dimostrazione combinatoria. Nel reticolo delle parti di un insieme la funzione rango è la cardinalità. (Riguardo ai coefficienti binomiali si possono consultare le dispense del corso di Combinatoria di Körner e Malvenuto, pag. 25 e seguenti).

Mercoledì 21 ottobre (Lezione 10) Calcolo della cardinalità dell'insieme delle funzioni suriettive. Calcolo dei numeri di Stirling di II specie. Coefficienti multinomiali e scomposizioni di un insieme finito. Teorema multinomiale. Anagrammi e scomposizioni di un insieme.Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una delle sequenze assegnate. Esercizi e complementi:Principio di inclusione-esclusione

Venerdì 23 ottobre (Lezione 11) - Il numero degli anagrammi come numero di classi di equivalenza dell'insieme delle permutazioni su n , esempio. Potenze in un monoide e proprietà, morfismi di monoidi, esempi. Teorema: Dato un monoide M e un elemento a di M esiste un solo morfismo di monoidi f tale che f (a) = 1. Morfismi di gruppi e loro proprietà

Lunedì 26 ottobre (Lezione 12) - Strutture algebriche: semigruppi, monoidi, gruppi. Sottostrutture: sottomonoidi e sottogruppi, esempi. Definizione di congruenza rispetto ad una operazione, la relazione di equivalenza individuata da un morfismo è una congruenza. La congruenza su N x N il cui quoziente è isomorfo al monoide ( Z,+) Morfismi di gruppi, un morfismo f di gruppi individua il sottogruppo Im f del codomino e il sottogruppo nucleo Ker f del dominio. Dimostrazione del teorema di divisione in Z tramite il principio del buon ordinamento. La congruenza modulo n .

Mercoledì 28 ottobre (Lezione 13) Teorema di omomorfismo per monoidi. Teorema di omomorfismo per gruppi: Dato un morfismo f dal gruppo G nel gruppo G' il gruppo G/Ker f è isomorfo al sottogruppo Im f. Classi di equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza individuata da un morfismo: [a] = a Ker f = Ker f a, le classi di equivalenza individuate da un morfismo di gruppi f sono in corrispondenza biunivoca con il Ker f. Un morfismo è un momomorfismo se e solo se Ker f è costituito solo dall'unità. Un morfismo è un epimorfismo se e solo se Im f coincide con il codominio.

Venerdì 30 ottobre (Lezione 14) Il gruppo simmetrico. Rappresentazione di una funzione dal punto dal vista della occupazione e da quello della distribuzione. Rappresentazione di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti e rappresentazione standard. Inverso di un prodotto in un gruppo. Ogni permutazione è il prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e permutazioni dispari. Ordine di una permutazione, legame tra ordine e parità, esempi ed esercizi sul gruppo simmetrico. Il gruppo alterno e la sua cardinalità.

Lunedì 2 novembre (Lezione 15) Classi laterali (destre e sinistre) e relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo. Ordine di un gruppo. Teorema di Lagrange: Sia G un gruppo finito ed S un suo sottogruppo, allora l'ordine di S divide l'ordine di G. Sottogruppi normali e loro caratterizzazione, un sottogruppo è normale se e solo se la relazione di equivalenza da esso individuata è una congruenza. I nuclei dei morfismi sono sottogruppi normali. Il gruppo simmetrico: il gruppo alterno è un sottogruppo normale. Esempi

Mercoledì 4 novembre (Lezione 16) Anelli. Anelli unitari, commutativi. Divisori dello zero: esempio di un anello con divisori dello zero. Anello degli interi: Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due interi non entrambi nulli. Esistenza del minimo comune multiplo. Esistenza ed unicità del massimo comun divisore di due interi non entrambi nulli. Identità di Bézout. Algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore e di una identità di Bézout. Esempi. L'anello ( Z / n Z,+, .) delle classi resto modulo n, una classse [ a ] in tale anello è invertibile se e solo se MCD(a,n)=1, il gruppo U( Z / n Z) degli elementi invertibili. Esempi ed esercizi.

Venerdi 6 novembre (Lezione 17) Campi, un campo è privo di divisori dello zero. L'anello ( Z / n Z,+, .) è un campo se e solo se n è un numero primo. Dati due interi positivi a e b , l'insieme S(a,b) dei naturali positivi m = ax + by è uguale all'insieme dei multipli del MCD(a,b) Equazioni di primo grado nell'anello delle classi resto modulo n e loro significato in Z. Equazioni di primo grado in Z / n Z: condizione necessaria e sufficiente affinchè un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni (un'equazione in Z / n Z del tipo [a]x = [b] è compatibile se e solo se MCD( a,n)| b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d ; la soluzione [s] modulo n/d di ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d)). Esempi. Risolvere gli esercizi della Scheda 2:

Lunedi 9 novembre (Lezione 18). Equazioni diofantee: compatibilità e calcolo delle soluzioni, esempi. Proprietà dei numeri primi: se un numero primo p divide il prodotto ab allora p divide a oppure p divide b; ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o è prodotto di numeri primi; teorema fondamentale dell'aritmetica (ogni numero naturale ha una unica scomposizione in fattori primi);i numeri primi sono infinti. Definizione e calcolo della funzione di Eulero (cfr.,Esercizi e complementi: Principio di inclusione-esclusione), ordine del gruppo U(Z / n Z).

Mercoledì 11 novembre (Lezione 19) Teorema di Fermat. Piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Dato un gruppo G e un elemento a di G, esistenza di un unico morfismo f da (Z ,+) in G tale che f (1) = a . Sottogruppo generato da un elemento. Il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. I sottogruppi del gruppo degli (Z ,+) sono tutti del tipo m Z .

Venerdì 13 novembre (Lezione 20) I sottogruppi di (Z / n Z ,+) sono tutti del tipo k Z / n Z dove k è un divisore di n. Il reticolo dei sottogruppi degli interi modulo 6 e modulo 12. Gruppi ciclici: i gruppi ciclici di ordine infinito sono isomorfi a ( Z ,+), ogni gruppo ciclico di ordine n è isomorfo a (Z / n Z ,+) delle classi resto modulo n. I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. L'anello K [x] dei polinomi in una indeterminata x a coefficienti nel campo K , grado di un polinomio, funzioni polinomiali. Gli unici elementi invertibili di K [x] sono le costanti non nulle. L'anello K [x] non ha divisori dello zero. Teorema di divisione (senza dimostrazione). Radici di un polinomio, teorema della radice, due polinomi a coefficienti reali sono uguali se e solo se coincidono le rispettive funzioni polinomiali.

Lunedi 16 novembre (Lezione 21) Matrici, prodotto righe per colonne e proprietà. L'anello delle matrici quadrate a coefficienti nel campo K, divisori dello zero. Il gruppo generale lineare GL(n, K). Matrici e sistemi lineari. Sottoanelli di un anello, condizione necessaria e sufficiente affinché un sottoinsieme sia un sottoanello, esempi. Il reticolo dei sottoanelli di un anello. Ideali di un anello. Teorema di omomorfismo per gli anelli.

Mercoledì 18 novembre (Lezione 22) Esercizi: Anagrammi e principio di inclusione esclusione; gruppi di Klein, gruppo degli elementi invertibili dell'anello delle classi resto modulo n, funzione di Eulero, isomorfismi; risoluzione di equazioni di primo grado in Z / n.

Venerdì 20 novembre (Lezione 23) Risolvere gli esercizi della Scheda 3

Lunedi 23 novembre PROVA INTERMEDIA

Mercoledì 25 novembre (Lezione 24) Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Esempi: lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto, lo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo K , lo spazio dei polinomi K [x], lo spazio vettoriale delle matrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale, esempi. CNES affinché un sottoinsieme sia un sottospazio. L'intersezione di sottospazi è un sottospazio, spazio generato da un sottoinsieme. Combinazioni lineari. Lo spazio generato da un sottoinsieme S coincide con l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di S. Il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale. Somma di due sottospazi, la somma coincide con lo spazio generato dall'unione dei due sottospazi, somme dirette di due sottospazi, lo spazio vettoriale delle matrici quadrate è somma diretta del sottospazio delle matrici simmetriche e di quello delle matrici antisimmetriche. Studiare e risolvere gli esercizi : Esercizi e complementi: Spazi vettoriali, prime proprietà.

Venerdì 27 novembre (Lezione 25) Dipendenza e indipedenza lineare, esempi. Caratterizzazione degli insiemi dipendenti: un insieme S è dipendente se esiste una combinazione lineare non banale di vettori di S uguale al vettore nullo. Caratterizzazione degli insiemi indipendenti: un insieme S è indipendente se l'unica combinazione lineare di vettori di S uguale al vettore nullo è quella banale. Se S è un insieme indipendente allora un vettore v non in S appartiene allo spazio generato da S se e solo se l'insieme costituito da v e dai vettori di S è dipendente, esempi. Basi di uno spazio vettoriale, teorema: Ogni spazio vettoriale ammette una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione).Dimensione, esempi. Studiare e risolvere gli esercizi: Esercizi e complementi: Dipendenza e indipendenza lineare, basi

Lunedi 30 novembre (Lezione 26) Caratterizzazioni delle basi: un insieme è una base se e solo se è un insieme di generatori minimale, un insieme è una base se e solo se è un insieme indipendente massimale, un insieme B è una base se e solo se ogni vettore dello spazio può esprimersi in modo unico come combinazione lineare di vettori di B. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t , è possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi (n<t) è possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V. Esempi. Corollari: Un insieme con (n+1) vettori è sempre dipendente, ogni insieme indipendente con n elementi è una base, ogni sistema di generatori dello spazio con n vettori è una base. Applicazioni Lineari. Applicazioni lineari: una applicazione L dallo spazio vettoriale V allo spazio vettoriale V' è lineare se e solo se per ogni a e b scalari e per ogni v, w in V si ha L( a v+ b w)= a L(v)+ b L(w). Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Esempi.Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali.Esercizi e complementi: Applicazioni lineari.

Mercoledi 2 dicembre (Lezione 27) Una applicazione lineare è definita dai valori che assume sui vettori di una base. Proprietà delle applicazioni lineari: l'immagine di un sottospazio di V è un sottospazio di V'; la controimagine di un sottospazio di V' è un sottospazio di V, l'immagine di un sottoinsieme dipendente è dipendente. Una applicazione lineare è iniettiva se e solo se l'immagine di un sottoinsieme indipendente di V e un insieme indipendente di V'. Isomorfismi. Teorema: ogni spazio vettoriale V sul campo K ha dimensione n se e solo se è isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi del campo K.Esempi. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine di una applicazione lineare. Analogia tra cardinalità e dimensione. Formula di Grassmann.

Venerdì 4 dicembre (Lezione 28) Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Esempi. L'applicazione lineare L(A) definita sullo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di K individuata dalla matrice A di m righe e n colonne. L'immagine di L(A) è generata dalle colonne di A e il nucleo di L(A) è costituito dalle soluzioni del sistema AX = 0.Esempi. Esercizi e complementi: Applicazioni lineari e matrici

Lunedì 7 dicembre Sospensione dell'attività didattica.

Mercoledì 9 dicembre (Lezione 28) Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Esempi. Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e m = dim V'.Matrici a scala per righe, pivot, le righe non zero di una matrice a scala per righe costituisce un insieme indipendente. Data una matrice A la dimensione dello spazio generato dalle righe di A si dice rango per riga di A, la dimensione dello spazio generato dalle colonne si dice rango per colonne di A, (dunque il rango per colonne è la dimensione dell'immagine di L(A)).

Venerdì 11 dicembre (Lezione 29) Risoluzione di un sistema lineare a scala SX = B: variabili libere e legate, il sistema a scala è compatibile se e solo se il rango per righe di S è uguale al rango per righe della matrice completa S|B, l'insieme delle soluzioni è in corrispondenza biunivoca con le (n-t)-ple di elementi di K , essendo n il numero delle incognite e t il rango per righe di S. Il rango per righe e quello per colonne di una matrice a scala sono uguali.Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe. Calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Matrici elementari, il prodotto EA di una matrice elementare E per una matrice A è uguale alla matrice ottenuta da A applicando l'operazione elementare che dalla matrice identità I porta ad E. Risoluzione di un sistema lineare AX = B con il metodo di Gauss. Il rango per righe di una matrice è uguale al suo rango per colonne. Teorema di Rouché-Capelli. Esempi.Scheda 4

Lunedì 14 dicembre (Lezione 30) Altra dimostrazione del Teorema di Rouché-Capelli. Se Y è una soluzione del sistema AX=B allora ogni altra soluzione è del tipo Y+H dove H è una soluzione del sistema omogeneo associato AX = 0. Matrici invertibili: le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) A è una matrice nxn invertibile. b) Il sistema AX = 0 ammette una sola soluzione. c) L'endomorfismo L(A) definito da L(A)(X) = AX è un isomorfismo. d) Il rango di A è n. e) Il sistema AX=B ammette una sola soluzione per ogni n-pla B. Calcolo dell'inversa: la i-esima colonna dell'inversa di A è l'unica soluzione del sistema AX = (i-esima colonna di I). Definizione di determinante come funzione det che ad ogni matrice quadrata associa un numero reale in modo che det(A') = -det(A), se A' è ottenuta da A scambiando 2 righe; det(A') = det(A), se A' è ottenuta da A moltiplicando una riga per lo scalare k; det(A') = det(A), se A' è ottenuta da A sostituendo alla riga i-esima la stessa riga sommata ad un'altra moltiplicata per uno scalare; det(I) = 1. Esistenza di una unica funzione determinante (senza dimostrazione) Minori e complementi algebrici. Regola di Laplace per il calcolo del determinante (senza dimostrazione) e determinante della matrice trasposta. Proprietà del determinante. Il determinante di una matrice A è diverso da zero se e solo se rango di A è massimo. Teorema di Binet (senza dimostrazione): det (AB) = det(A) det(B). Determinante della matrice inversa.

Mercoledì 16 dicembre (Lezione 31) Matrice aggiunta e calcolo della matrice inversa tramite la matrice aggiunta. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Cambiamenti di base di uno spazio vettoriale. Esempi. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Esercizi e complementi: Diagonalizzazione

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