Diario delle lezioni Algebra M-Z, prof. Antonietta Venezia, a.a. 2012-2013

Venerdi 28 settembre (Lezione 1) - Introduzione al corso. Concetti fondamentali: prodotto cartesiano, relazioni, funzioni come relazioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Composizione di funzioni. Strutture algebriche: definizione di gruppo, il gruppo simmetrico; definizione di anello, l'anello degli interi Z; definizione di campo, il campo dei numeri reali R; definizione di spazio vettoriale, lo spazio vettoriale delle n-ple di numeri reali e dei vettori geometrici.

Lunedi 1 ottobre (Lezione 2) - Equazioni lineari e sistemi lineari. Relazioni su un insieme, relazione duale, esempi. Relazioni d'ordine, insiemi parzialmente ordinati, intervalli, esempi. L'insieme dei numeri naturali N ordinato dalla divisibilità. Diagrammi di Hasse.

Mercoledi 3 ottobre (Lezione 3) - Relazioni di equivalenza. Esempi: la relazione di equipotenza tra insiemi, la relazione di congruenza modulo n sull'insieme degli interi, gli interi come quoziente di N x N. Partizioni,esempi, nucleo di una funzione.

Venerdi 5 ottobre (Lezione 4) - Proprietà delle relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e insieme quoziente. Biiezione tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle relazioni di equivalenza, esempi.

Lunedi 8 ottobre (Lezione 5) -Proiezione sul quoziente, sezioni, assioma della scelta, esempi. Inversa destra e inversa sinistra di una applicazione. Una sezione è un'inversa destra della proiezione.

Mercoledi 10 ottobre (Lezione 6) - Teorema di omomorfismo per gli insiemi. Teorema di decomposizione delle applicazioni: ogni funzione può essere scritta come composizione di una applicazione iniettiva con una suriettiva. Definizione dei numeri naturali. Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni e definizione delle iterazioni di una endofunzione. Potenze in un monoide. Proprietà della funzione successore. Il monoide ( N ,+), legge di cancellazione.

Venerdi 12 ottobre (Lezione 7) - Definizione e proprietà del monoide ( N -{0}, ° ). Definizione della relazione d'ordine naturale su N . Proprietà.

Lunedi 15 ottobre (Lezione 8) - N con la relazione d'ordine naturale è ben ordinato. Assioma di Zermelo e assioma della scelta. Dimostrazione del teorema di divisione in Z attraverso il buon ordinamento. Morfismi di strutture algebriche. Esempi. Isomorfismi. Potenze in un monoide e loro proprietà. Teorema: Dato un Monoide (M,.) e un elemento a di M, esiste un solo morfismo di monoidi f da (N,+) in (M,.) tale che f (a) = 1.

Mercoledi 17 ottobre (Lezione 9) - Enumerare e contare. Principi del calcolo combinatorio: principio di uguaglianza, regole della somma e del prodotto. Cardinalità dell'insieme delle funzioni da un insieme finito A in un insieme finito R. Cardinalità dell'insieme delle parti P (A) di un insieme finito A: dimostrazione per induzione e dimostrazione che P (A) è in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle funzioni definite su A a valori 0 o 1 (funzioni caratteristiche). Fattoriale decrescente e numero delle funzioni inettive. Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi, identità di Pascal. Risolvere gli esercizi della Scheda 1

Riguardo ai coefficienti binomiali si possono consultare le dispense del corso di Combinatoria di Körner e Malvenuto, pag 25 e seguenti.

Venerdi 19 ottobre (Lezione 10) - Calcolo del coefficiente binomiale. Il teorema binomiale: dimostrazione biiettiva. Dimostrazione del Principio di inclusione-esclusione e applicazione al calcolo del numero di funzioni suriettive da un insieme con n elementi in un insieme con r elementi. Principio di inclusione-esclusione

Lunedi 22 ottobre (Lezione 11) - Coefficienti multinomiali e scomposizioni di un insieme finito. Teorema multinomiale. Rappresentazione di una funzione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Principio dei cassetti. Gruppi. Esempi. Unicità dell'unità, unicità del'inverso, leggi di cancellazione, inverso di un prodotto. Morfismi di gruppi: l'immagine dell'unità del dominio è l'unità del codominio, l'immagine delll'inverso è l'inverso delll'immagine. Esempi di morfismi di gruppi. La composizione di due morfismi è un morfismo.Il monoide delle endofunzioni di un insieme. Il gruppo simmetrico.

Mercoledi 24 ottobre (Lezione 12) - Dato un gruppo e un elemento del gruppo a esiste un solo morfismo f di gruppi dal gruppo ( Z ,+) nel gruppo dato tale che f (1) = a. Relazione di equivalenza individuata da una permutazione. Cicli di una permutazione, ogni permutazione è il prodotto dei suoi cicli. Rappresentazione standard di una permutazione come prodotto di cicli. Trasposizioni. Ogni permutazione è il prodotto di trasposizioni. Parità di una permutazione. Il gruppo alterno e sua cardinalità.

Venerdi 26 ottobre (Lezione 13) -Sottogruppi. Esempi. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sottoinsieme non vuoto sia un sottogruppo. Morfismi tra strutture algebriche: l'applicazione inversa di un morfismo è un morfismo. Epimorfismi, monomorfismi, isomorfismi. Nucleo e immagine di un morfismo di gruppi.

Lunedi 29 ottobre (Lezione 14) - Un morfismo dal gruppo G nel gruppo G' è un epimorfismo se e solo se l'immagine è uguale a G'. Un morfismo è un monomorfismo se e solo se l'unico elemento del nucleo è l'unità di G. Relazione di equivalenza individuata da un morfismo f di gruppi: per ogni classe di equivalenza [x] risulta [x] = x (Ker f )= (Ker f ) x. Congruenze rispetto ad una operazione e struttura algebrica sul quoziente. Esempi: la congruenza modulo n in (Z ,+) e il gruppo (Z*/n*Z,+), la congruenza in (N x N ,+) il cui quoziente è isomorfo al gruppo degli interi. Gruppi finiti e tabella di composizione.

Mercoledì 31 ottobre (Lezione 15) - Richiami: proprietà dell'anello degli interi. L'anello degli interi è un dominio di integrità. Un esempio di anello con divisori dello zero. Minimo comune multiplo e massimo comun divisore di due interi non entrambi nulli. Esistenza e unicità del massimo comun divisore. Algoritmo euclideo delle divisioni successive e identità di Bézout. L'ultimo resto non zero dell'algoritmo di Euclide è il massimo comun divisore. Esempi. Esistenza e unicità del minimo comune multiplo.

Venerdì 2 novembre (Lezione 16) Anagrammi, scomposizioni di un insieme e relazioni di equivalenza. Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una delle sequenze assegnate.Esempi ed esercizi. (cfr.Esempio 4:anagrammi).

Lunedì 5 novembre (Lezione 17) - L'anello (Z /n Z,+, .) delle classi resto modulo n, una classse [a] in tale anello è invertibile se e solo se MCD(a,n)=1. Il gruppo U((Z /n Z) degli elementi invertibili. L'anello (Z /n Z,+, .) è un campo se e solo se n è un numero primo. Equazioni di primo grado in Z*/n*Z: condizione necessaria e sufficiente affinchè un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni: un'equazione in Z*/n*Z del tipo [a]x = [b] è compatibile se e solo se MCD(a,n)|b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d; la soluzione [s] modulo n/d di ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d). Esempi.

Mercoledì 7 novembre (Lezione 18) - Il teorema di Eulero-Fermat, dimostrazione. Corollario: il piccolo teorema di Fermat. Applicazione. Ordine di un gruppo e ordine di un suo elemento. Funzione di Eulero (cfr.Esempio 1:calcolo della funzione di Eulero). Equazioni diofantee: condizione necessaria e sufficiente affinchè un'equazione diofantea sia compatibile e calcolo delle soluzioni. Esempi.

Venerdì 9 novembre (Lezione 19) - Formualazioni equivalenti del principio di induzione. Numeri primi, ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o è il prodotto di numeri primi. Se un numero primo p divide il prodotto ab di due interi allora uno dei due numeri è divisibile per p . Teorema fondamentale dell'aritmetica. I numeri primi sono infiniti. Esercizi: anagrammi, equzioni diofantee, congruenze.

Lunedì 12 novembre Interruzione della didattica. Prova intermedia.

Mercoledi 14 novembre Interruzione della didattica.

Venerdi 16 novembre Interruzione della didattica.

Lunedì 19 novembre (Lezione 20) - Riepilogo: gruppi, ordine di un gruppo, ordine di un elemento, sottogruppi, morfismi. Teorema di omomorfismo per i gruppi: un morfismo f dal gruppo G nel gruppo G' individua il nucleo, sottogruppo di G, e l'immagine, sottogruppo di G'; la relazione su G definita da a equivalente b se e solo se f ( a) = f (b) è una congruenza su G e il gruppo quoziente è isomorfo all'immagine, inoltre [ a ] = a Ker f .Esempi. Polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo e funzioni polinomiali.

Mercoledì 21 novembre (Lezione 21) - Sottogruppo generato da un sottoinsieme, gruppi ciclici. Reticoli: dei numeri naturali con la divisibilità, dei sottoinsiemi di un insieme, dei sottogrupppi di un gruppo, esempi (cfr. Reticoli) Se a è un elemento di ordine finito t allora una potenza di a è uguale all'unità del gruppo se e solo se t divide l'esponente e due potenze di a sono uguali se e solo se i relativi esponenti sono congrui modulo t. Ogni un gruppo ciclico di ordine infinito è isomorfo al gruppo degli interi (Z,+) e ogni gruppo ciclico finito di ordine n è isomorfo al gruppo (Z /n Z,+) delle classi resto modulo n.

Venerdì 23 novembre (Lezione 22) - I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. Se G è un gruppo ciclico di ordine n allora per ogni divisore h di n esiste un sottogruppo ciclico di ordine h. Relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo H di un gruppo (G,.) e relativi insiemi quozienti, laterali destri e sinistri, tutti i laterali hanno la stessa cardinalità di H. Teorema di Lagrange: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo. Indice di un sottogruppo. Sottogruppi normali: per ogni elemento a del gruppo G aH=Ha. CNES affinchè un sottogruppo sia normale. Il gruppo alterno è un sottogruppo normale del gruppo delle permutazioni di n elementi. Risolvere gli esercizi della Scheda 2

Lunedì 28 novembre (Lezione 23) - Lunedì 26 novembre (Lezione 23 ) - Corollari del teorema di Lagrange: generalizzazione del teorema di Fermat (se G è un gruppo finito di ordine n allora la potenza ennesima di ogni elemento è uguale all'unità), se l'ordine di un gruppo G è un numero primo allora i sottogruppi di G sono solo quelli banali e quindi G è ciclico. La relazione di equivalenza su G definita da H è una congruenza se e solo se H è un sottogruppo normale di G. Il nucleo di un morfismo di gruppi è un sottogruppo normale. Il gruppo di Klein. Ogni gruppo di ordine 4 è isomorfo al gruppo di Klein oppure al gruppo abeliano delle classi resto modulo 4.

Mercoledì 28 novembre (lezione 24) - Anelli, anelli commutativi, anelli unitari, dominii di integrità. Esempi. Legge di annullamento del prodottto.Campi. Grado di un polinomio. L'anello K [x] dei polinomi in una indeterminata x a coefficienti in un campo K: polinomi invertibili, l'anello dei polinomi è privo di divisori dello zero. Teorema di divisione: algoritmo della divisione tra polinomi. Radici di un polinomio. Se a è radice del polinomio p(x) allora p(x) è divisibile per il polinomio (x- a ). Ogni polinomio non nullo di grado n ha al più n radici. Due polinomi p(x) e g(x) sono uguali se e solo se per ogni n intero positivo p(n) = g(n). Definizione di matrice con m righe e n colonne. Il gruppo (M(m,n),+) delle matrici con m righe e n colonne.

Venerdì 30 novembre (Lezione 25) - Esercizi. Prodotto tra matrici e sistemi lineari.

Lunedì 3 dicembre (Lezione 26 ) - L'anello delle matrici quadrate è un anello unitario, non commutativo e con divisori dello zero. Il gruppo generale lineare di ordine n. Il reticolo dei sottoanelli di un anello. Morfismi di anelli. Ideali. Teorema di omomorfismo per gli anelli. Esempi.

Mercoledì 5 dicembre (Lezione 27) - Reticoli come strutture algebriche. Proprietà che caratterizzano i reticoli come strutture algebriche. Principio di dualità. Disuguaglianze distributive. Esempi (cfr. Reticoli come strutture algebriche)

Venerdì 7 dicembre (Lezione 28) - Esercizi sugli anelli. Scheda 3 Definizione di spazio vettoriale su un campo. Esempi: spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo, spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in un campo, spazio vettoriale delle matrici mxn ad elementi in un campo, spazio vettoriale dei vettori geometrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale, esempi.

Lunedì 10 dicembre (Lezione 29 ) - Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sottoinsieme sia un sottospazio di uno spazio vettoriale. L'intersezione di sottospazi è un sottospazio. Sottospazio generato da un sottoinsieme non vuoto. Sistema di generatori. Combinazione lineare. Il sottospazio generato da un sottoinsieme S è costituito da tutte le combinazioni lineari dei vettori di S. Esempi. Il reticolo dei sottospazi. Il sottospazio generato dall'unione di due sottospazi U e W è il sottospazio somma U+W. L'intersezione di due sottospazi è il solo vettore nullo se e solo se ogni vettore di (U+W) si esprime in modo unico come somma di un vettore di U e uno di W (somma diretta). Matrici simmetriche e antisimmetriche di ordine n. Il sottospazio delle matrici simmetriche e quello delle matrici antisimmetriche hanno somma diretta e tale somma è uguale allo spazio vettoriale di tutte le matrici quadrate di ordine n. (cfr. Complementi ed esercizi: prime proprietà degli spazi vettoriali )

Mercoledi 12 dicembre (Lezione 30) - Applicazioni lineari. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una applicazione sia lineare. Il nucleo e l'immagine di una appplicazione lineare sono sottospazi, l'immagine di un sottospazio è un sottospazio. Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. Spazi vettoriali isomorfi. Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali. Lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle appplicazioni lineari dallo spazio vettoriale V nello spazio vetttoriale V'. Esempi ed esercizi.

Venerdi 14 dicembre (Lezione 31) - Vettori indipendenti e vettori dipendenti da un sottoinsieme di vettori. Insiemi linearmente dipendenti e insiemi linearmente indipendenti. Un insieme è indipendente se e solo se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella con i coefficienti tutti nulli. Base di uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale ha una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione). Le seguenti proposizioni sono equivalenti:a) il sottoinsieme B è una base; b) B è un insieme di generatori minimale; c) B è un insieme indipendente massimale; d) ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Dimensione. Un insieme indipendente con n elementidi uno spazio vettoriale di dimensione n è una base (senza dimostrazione). Ogni applicazione lineare iniettiva manda insiemi indipendenti in insiemi indipendenti. Ogni spazio vettoriale V su un campo K ha dimensione n se e solo se è isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di K. Esempi.(cfr. Complementi ed esercizi: basi di uno spazio vettoriale)

Lunedì 17 dicembre (Lezione 32) - Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t <n, è possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi (n<t) è possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V. Esempi. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n allora un sistema di generatori con n vettori è una base, un insieme di (n+1) vettori è dipendente. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine di una applicazione lineare. Applicazione lineare L(A) individuata da una matrice A, il nucleo di L(A) è il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo AX =O. Rango per righe e rango per colonne di una matrice. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a)un sistema lineare AX=B è compatibile; b) B appartiene all'immagine di L(A); c) B appartiene al sottospazio generato dallle colonne di A.

Mercoledì 19 dicembre (Lezione 33) - Matrici a scala per righe, pivot, le righe non nulle di una matrice a scala costituiscono un insieme indipendente (il rango per righe di una matrice a scala è uguale al numero delle righe non nulle). Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe, calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Risoluzione di un sistema a scala SX=B: variabili dipendenti e indipedenti, il sistema a scala è compatibile se e solo se il rango per righe di S è uguale al rango per righe di S|B. Il rango per righe di una matrice è uguale al suo rango per colonne. Teorema di Rouché-Capelli. Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L, definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Esempi.

Giovedi 20 dicembre (Lezione 34) - Risoluzione di sistemi lineari mediante il metodo di Gauss. Esempi di problemi che comportano la risoluzione di sistemi lineari. L'insieme delle soluzioni di AX = B è uguale all'insieme H + Ker L(A), dove AH = B, ossia ogni soluzione si esprime come somma di una soluzione particolare H con una soluzione del sistema omogeneo associato.Ogni applicazione lineare è individuata dai valori che assume sui vettori di una base.

Venerdi 21 dicembre 2012 - 6 gennaio 2013 - Vacanze di Natale. Ripassare svolgendo gli esercizi della Scheda 3

Lunedì 7 gennaio (Lezione 35) - Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e m = dim V'. Esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Esempi. Cambiamenti di base di uno spazio vettoriale. Esempi. Matrici quadrate invertibili. Se A è una matrice di ordine n ad elementi in K, le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1)A è invertibile. 2) L'applicazione lineare che ad ogni n-pla X di elementi di K associa AX è un isomorfismo. 3) Il rango di A è n. 4) Il sistema AX = 0 ammette solo la soluzione nulla. 5) Il sistema AX = B ammette una sola soluzione. Calcolo della matrice inversa risolvendo sistemi lineari. Definizione della funzione determinante e sue proprietà. Minori e complementi algebrici. Regola di Laplace per il calcolo del determinante (senza dimostrazione) e determinante della matrice trasposta. Il determinante di una matrice a scala è il prodotto degli elementi della diagonale. Se A è una matrice equivalente per righe alla matrice a scala S e le operazioni elementari eseguite per ottenere S da A sono solo sostituzioni di righe con righe del tipo R + k R' e scambi di righe allora det(A) è uguale a det(S) o a -det(S). Esempi. Una matrice A è invertibile se e solo se det(A) è non nullo. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Determinante della matrice inversa. Complementi ed esercizi: applicazioni lineari e matrici .

Mercoledì 9 gennaio (Lezione 36) - Teorema di Cramer (senza dimostrazione). Matrice aggiunta e calcolo dell'inversa, esempi. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Esempi.

Venerdi 11 gennaio (Lezione 37) - Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi. Autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico, grado del polinomio caratteristico, molteplicità algebrica di un autovalore. Gli autospazi hanno somma diretta (senza dimostrazione). Relazione tra la molteplicità geometrica e quella algebrica. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Un endomorfismo L di uno spazio vettoriale di dimensione n è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore la sua molteplicità geometrica coincide con quella algebrica e la somma delle molteplicità è uguale ad n. Un endomorfismo L di uno spazio vettoriale V di dimensione n è diagonalizzabile se e solo se la somma dei suoi autospazi è V. Esempi ed esercizi.

Givedi 14 gennaio (Lezione 38) - Esercizi. Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici. Risolvere gli esercizi della Scheda 4