DiarioLezioni < Algebra/MZ/AA1112

Tags: view all tags
---++Diario delle lezioni Algebra M-Z, prof. Antonietta Venezia, a.a. 2011-2012

<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì  3 ottobre (Lezione 1)</b></font> - Introduzione al corso. Strutture algebriche: definizione di gruppo,il gruppo simmetrico;definizione di anello,l'anello degli interi *Z*;definizione di campo,il campo dei numeri reali *R*;definizione di spazio vettoriale, lo spazio vettoriale delle n-ple di numeri reali. Applicazioni lineari ed esempi. Sistemi lineari.

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 5 ottobre (Lezione 2)</b></font> - Relazioni binarie, grafico di una relazione, relazione duale, esempi. Funzioni come relazioni.Relazioni d'ordine,insiemi parzialmente ordinati, intervalli, esempi. L'insieme dei numeri naturali *N* ordinato dalla divisibilità. L'insieme parzialmente ordinato delle partizioni di un insieme. Diagrammi di Hasse.

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì  7 ottobre  (Lezione 3)</b></font> - Relazioni di equivalenza. Esempi: la relazione di equipotenza tra insiemi, la relazione di congruenza modulo n sull'insieme degli interi, gli interi come quoziente di *N* x *N*. Classi di equivalenza, insieme quoziente. Biiezione tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle relazioni di equivalenza. Esercizi.Risolvere gli esercizi della Scheda 1. [[%ATTACHURL%/SCHEDA_1.pdf][SCHEDA 1.pdf]]


<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 10 ottobre (Lezione 4)</b></font> - Relazioni di equivalenza: proiezione sul quoziente, sezioni. Esempi. Nucleo di una funzione.Teorema di omomorfismo per gli insiemi.Teorema di decomposizione delle applicazioni: ogni funzione può essere scritta come composizione di una applicazione iniettiva con una suriettiva. Definizione dei numeri naturali. Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni e definizione delle iterazioni di una endofunzione. Regole del calcolo combinatorio: principio della somma, principio del prodotto.

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 12 ottobre (Lezione 5)</b></font> - Definizione e proprietà dei monoidi ( *N* ,+) e ( *N* -{0},°).Definizione della relazione d'ordine naturale su *N* e dimostrazione che con tale relazione *N* è bene ordinato. Assioma di Zermelo e assioma della scelta. Monoidi e potenze. Esempi. Teorema: Dato un Monoide (M,.) e un elemento _a_ di M, esiste un solo morfismo di monoidi _f_  da (*N*,+) in (M,.) tale che _f_ (_a_) = 1. Cardinalità dell'insieme delle funzioni da un insieme finito A in un insieme finito R. Cardinalità dell'insieme delle parti _P_ (A) di un insieme finito A: dimostrazione per induzione e dimostrazione che _P_ (A) è in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle funzioni definite su A a valori 0 o 1 (funzioni caratteristiche).

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì 14 ottobre  (Lezione 6)</b></font> - Il coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi. Definizone ricorsiva. Dimostrazione biiettiva del  teorema binomiale. Esercizi. Risolvere gli esercizi della Scheda 2. [[%ATTACHURL%/Scheda_2.pdf][Scheda 2.pdf]]

<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 17 ottobre (Lezione 7)</b></font> - Morfismi di strutture algebriche. Isomorfismi. Esempi. Il monoide delle endofunzioni di un insieme. Rappresentazione di una funzione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Principio dei cassetti. Il gruppo simmetrico. Relazione di equivalenza individuata da una permutazione. Cicli di una permutazione, ogni permutazione è il prodotto dei suoi cicli. Rappresentazione standard di una permutazione come prodotto di cicli.  

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 19 ottobre (Lezione 8)</b></font> - Trasposizioni. Ogni permutazione è il prodotto di trasposizioni. Parità di una permutazione. Il gruppo alterno. Gruppi. Esempi. Proprietà: unicità dell'unità, unicità del'inverso, leggi di cancellazione. Sottogruppi. Esempi.

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì  21 ottobre </b></font> - La lezione è stata cancellata. Risolvere gli esercizi della Scheda 3.
[[%ATTACHURL%/Scheda_3.pdf][SCHEDA 3.pdf]]

<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 24 ottobre (Lezione 9)</b></font> - Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sottoinsieme non vuoto sia un sottogruppo. Morfismi tra strutture algebriche: l'applicazione inversa di un morfismo è un morfismo, la composta di due morfismi è un morfismo. Epimorfismi, monomorfismi, isomorfismi. Proprietà dei morfismi di Gruppi: l'immagine dell'unità è l'unità del codominio, l'immagine dell'inverso di un elemento è l'inverso dell'immagine di quell'elemento. Nucleo e immagine di un morfismo di gruppi. Un morfismo dal gruppo G nel gruppo G' è un epimorfismo se e solo se l'immagine è uguale a G'. Un morfismo è un monomorfismo se e solo se l'unico elemento del nucleo è l'unità di G. Gruppi finiti e tabella di composizione.

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 26 ottobre (Lezione 10)</b></font> - Se F è un  morfismo dal gruppo G nel gruppo G' , l'immagine F(H) di un sottogruppo H di G è un sottogruppo di G'. Anelli, anelli commutativi, anelli unitari. Esempi. Regole di calcolo negli anelli. Sottoanelli. Domini di integrità. Campi. Gruppo delle matrici mxn ad elementi in un campo. Prodotto di matrici righe per colonne e sistemi lineari. L'anello delle matrici quadrate. 

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì 28 ottobre (Lezione 11)</b></font> - Matrici elementari. L'anello delle matrici è un anello unitario, non commutativo e con divisori dello zero. Il gruppo generale lineare di ordine n. L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo, grado di un polinomio. Morfismi di anelli. Esempi. Congruenze. Il gruppo degli interi ( *Z* ,+) come quoziente del monoide ( *N* x *N* , +).

<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 31 ottobre (Lezione 12)</b></font> - Congruenze rispetto ad una operazione. Dato un gruppo G ed un elemento g di G esiste un solo morfismo di gruppi _f_ dal gruppo ( *Z* ,+) nel gruppo G tale che  _f_ (1) = g. Definizione dell'anello degli interi ( *Z* ,+,.). Dimostrazione del principio di inclusione-esclusione.Reticoli.

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 2 novembre (Lezione 13)</b></font> - Teorema della divisione in *Z* . Relazione di divisibilità. Massimo comun divisore di due interi non entrambi nulli. Esistenza e unicità del massimo comun divisore. Algoritmo euclideo delle divisioni successive e identità di Bézout. Esistenza e unicità del minimo comune multiplo. *N* con la relazione di divisibilità è un reticolo.

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì 4 novembre  (Lezione 14)</b></font> - L'ultimo resto non zero dell'algoritmo di Euclide è il massimo comun divisore. Numeri primi e teorema fondamentale dell'aritmetica. L'anello *Zn* delle classi resto modulo n>1. Condizione necessaria e sufficiente affinché un elemento sia invertibile in *Zn*. L'anello *Zn* è un campo se e solo se n è un numero primo. Equazioni di primo grado in *Zn*: Condizione necessaria e sufficiente affinché l'equazione [a]X = [b] ammetta soluzioni è che d = MCD(a,n) divida b.
Esempi.

<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 7 novembre (Lezione 15)</b></font> - Applicazioni del principio di inclusione-esclusione: numero delle funzioni suriettive e funzione di Eulero. Anagrammi. Esercizi.cfr  [[%ATTACHURL%/Reticoli_e_pricipio_di_inclusione-esclusione%5b1%5d.pdf][Reticoli e principio di inclusione esclusione]]

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 9 novembre (Lezione 16)</b></font> - Il teorema di Eulero-Fermat, dimostrazione. Il piccolo teorema di Fermat. Ordine di un gruppo e ordine di un suo elemento. 
Esercizi.

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì 11 novembre (Lezione 17)</b></font> - Teorema fondamentale di omomorfismo per i gruppi, dato un morfismo di gruppi _f_  la classe [a] costituita dagli elementi che hanno la stessa immagine di a è uguale all'insieme (a.Ker _f_  ). Relazione di equivalenza individuata da un sottogruppo H di un gruppo (G,.), laterali destri e sinistri. Proposizione: un'equazione in *Zn* del tipo  [a]x = [b] è compatibile se e solo se MCD(a,n)|d e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una  soluzione  [s] modulo n/d; la soluzione [s] di ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d). Esempi. Equazione diofantee:compatibilità e risoluzione mediante l'algoritmo di Euclide. Esempi. 


<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 14 novembre</b></font> - Interruzione dalla didattica. 

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 16 novembre</b></font> - Interruzione dalla didattica

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì 18 novembre</b></font> - Interruzione dalla didattica. Prova intermedia ore 16, aule Cabibbo e III, Istituto di Fisica.


<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 21 novembre (Lezione 18)</b></font> - Teorema di omomorfismo per i gruppi: un morfismo _f_ dal gruppo G nel gruppo G' individua il nucleo, sottogruppo di G, e l'immagine, sottogruppo di G'; la relazione su G definita da _a_  equivalente _b_ se e solo se  _f_ ( _a_) = _f_ (_b_) è una congruenza su G e il gruppo quoziente è isomorfo all'immagine, inoltre [ _a_ ] = _a_ Ker _f_ .Esempi. 

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 23 novembre (Lezione 19)</b></font> -Laterali destri e sinistri di un sottogruppo H di un gruppo G, tutti i laterali hanno la stessa cardinalità di H.L'insieme del laterali destri (sinistri) costituisce una partizione di G,  relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo  (che in generale non sono congruenze). Esempio: il gruppo delle permutazioni su 3 elementi.Teorema di Lagrange: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo- Indice di un sottogruppo. Esempi.

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì  25 novembre (Lezione 20)</b></font> - Sottogruppi normali di un gruppo G ( un sottogruppo si dice normale se per ogni g di G  gH = Hg). CNES affinchè un sottogruppo sia normale. Un sottogruppo è normale se e solo se la relazione di equivalenza da esso individuata è una congruenza. Il nucleo di un morfismo di gruppi è un sottogruppo normale- Tutti i sottogruppi di indice 2 sono normali.


<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 28 novembre (Lezione 21 )</b></font> - Ordine (o periodo) di un elemento di un gruppo. Esempi di elementi di ordine infinito. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Sottogruppo generato da un solo elemento. Gruppi ciclici. Un gruppo ciclico infinito è isomorfo a ( *Z* ,+). Un gruppo ciclico finito di ordine n è isomorfo a ( *Z* n,*).

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 30 novembre </b></font> - La lezione è stata cancellata.

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì 2 dicembre  </b></font> - La lezione è stata cancellata.


<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 5 dicembre (Lezione 22 )</b></font> - I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. Se G è un gruppo ciclico di ordine n allora per ogni divisore h di n esiste un sottogruppo ciclico di ordine h. Reticolo dei sottogruppi di  *Z*n. Se x è un elemento di periodo  n, allora la potenza t-esima di x ha periodo n/MCD(n,t). I generatori di un gruppo ciclico di ordine n sono tutti e soli gli elementi di periodo n. Definizione di spazio vettoriale su un campo. Esempi. Applicazioni lineari-

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 7 dicembre (Lezione 23)</b></font> - Sottospazi di uno spazio vettoriale. Esempi. Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare sono sottospazi. Sottospazio intersezione di sottospazi. Sottospazio generato da un sottoinsieme. Reticolo dei sottospazi. Il sottospazio generato dall'unione di due sottospazi U e W è il sottospazio somma U+W. L'intersezione di due sottospazi è il solo vettore nullo se e solo se ogni vettore di (U+W) si esprime in modo unica come somma di un vettore di U e uno di W(somma diretta).
[[%ATTACHURL%/1._Prime_proprieta_degli_spazi_vettoriali_-.pdf][Complementi ed esercizi :prime proprietà degli spazi vettoriali]]


<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì  9 dicembre </b></font> - La lezione è stata cancellata.

<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 12 dicembre (Lezione 24)</b></font> - Combinazione lineare. Il sottospazio generato da un sottoinsieme S è costituito dalle combinazioni lineari dei vettori di S. Vettori indipendenti e vettori dipendenti  da un sottoinsieme di vettori. Insiemi linearmente dipendenti e insiemi linearmente indipendenti. Un insieme è indipendente se e solo se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella con i coefficienti tutti nulli. Base di uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale ha una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione). Le seguenti proposizioni sono equivalenti:a) il sottoinsieme B è una base; b) B è un insieme di generatori minimale; c) B è un insieme indipendente massimale; d) ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B- Coordinate di un vettore rispetto ad una base.Dimensione. Un'applicazione lineare è determinata dai valori che assume su una base del dominio. Ogni spazio vettoriale V su un campo K ha dimensione n se e solo se è isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di K.
[[%ATTACHURL%/2._Insiemi_dipendenti_e_indipendenti.pdf][Complementi ed esercizi; insiemi dipendenti e insiemi indipendenti]]


<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 14 dicembre (Lezione 25)</b></font> - Ogni applicazione lineare iniettiva manda insiemi indipendenti in insiemi indipendenti.Teorema del completamento: Dato un insieme S indipendente con t vettori di uno spazio vettoriale di dimensione n (t<n) è possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' è una base S .  Esempi. Teorema dell'estrazione di una base: dato un sistema di generatori G con t elementi (n<t) è possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' è una base. Esempi. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine di una applicazione lineare.

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì  16 dicembre (Lezione 26)</b></font> - Sistemi lineari: matrice dei coefficienti e matrice completa. Applicazione lineare L(A) individuata da una matrice A. L'immagine Im L(A) è generata dalle colonne di A. Rango per colonne di una matrice. Il sistema è AX = B è compatibile se e soltanto se B appartiene all'immagine di L(A) e quindi se e soltanto se B appartiene allo spazio generato dalle colonne di A. L'insieme delle soluzioni di AX = B è uguale all'insieme S + Ker L(A), dove AS = B, ossia ogni soluzione si esprime come somma di una soluzione particolare S con una soluzione del sistema omogeneo associato. Teorema di Rouchè-Capelli. Esempi. 
[[%ATTACHURL%/3._Sistemi_lineari_e_Matrici.pdf][Complenti ed esercizi: sistemi lineari e matrici]]

<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 19 dicembre (Lezione 27)</b></font> - Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss: matrici a scala per righe, pivot, le righe non nulle di una matrice a scala costituiscono un insieme indipendente. Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe, metodo di Gauss per determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data. Esempi. Risoluzione di sistemi a scala: variabili dipendenti e indipendenti. Costruzione di un sistema a scala equivalente ad un sistema dato. Esempi. Rango per righe di una matrice. Un sistema lineare AX = B è compatibile se e solo se il rango per righe della matrice A è uguale al rango per righe della matrice completa (A|B). L'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo AX = 0 è il nucleo Ker L dell'applicazione lineare L che ad ogni vettore X associa L(X) = AX, dim Ker L = n- (rango per righe di A). Il rango per colonne di una matrice A è uguale al suo rango per righe. Esempi. 
 

<font color="#AF0F0F"><b> Giovedi 22 dicembre 2011- 8 gennaio 2012 </b></font> - Vacanze di Natale

<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 9 gennaio (Lezione 28)</b></font> - Applicazioni lineari e matrici: matrice asociata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V' rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Esempi.

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 11 gennaio (Lezione 29)</b></font> - Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e  m = dim V'. Esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Esempi.
 

<font color="#AF0F0F"><b>Venerdì   13 gennaio (Lezione 30)</b></font> - Matrici quadrate invertibili. Se A è una matrice di ordine n ad elementi in K, le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1)A è invertibile-2) L'applicazione lineare che ad ogni n-pla X di elemnti di K associa AX è un isomorfismo. 3) Il rango di A è n. 4) Il sistema AX = 0 ammette solo la soluzione nulla. 5) Il sistema AX = B ammette una sola soluzione. Calcolo della matrice inversa, esempi. Cambiamenti di base in uno spazio vettoriale. Determinante di una matrice quadrata. Matrici elementari, determinante di una matrice elementare E, det(EA) =det(E) det(A), il determinante della matrice trasposta di E è uguale al det(E).Determinante di una matrice a scala. Una matrice A è invertibile se e solo se det(A) è non nullo. Teorema di Binet :det(AB) = det(A)det(B). 



<font color="#AF0F0F"><b>Lunedì 16 gennaio (Lezione 31)</b></font> - Una matrice di ordine n ha determinante non nullo se e solo se il suo rango è n. Le matrici con determinante non nullo sono tutte quelle equivalenti per righe all'identità. determinante della matrice inversa, determinante della matrice trasposta. Definizione di minore di una matrice e calcolo del determinante mediante lo sviluppo di Laplace (senza dimostrazione). Teorema di Cramer (senza dimostrazione). Esempi ed esercizi.

<font color="#AF0F0F"><b>Mercoledì 18 gennaio (Lezione 32)</b></font> - Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: relazione di similitudine tra matrici quadrate, matrici quadrate simili rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Esempi ed esercizi.



<font color="#AF0F0F"><b>Venerdi 20 gennaio (Lezione 33)</b></font> - Autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e molteplicità algebrica di un autovalore. Gli autospazi hanno somma diretta (senza dimostrazione). Relazione tra la molteplicità geometrica e quella algebrica. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Un endomorfismo L di uno spazio vettoriale di dimensione n è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore la sua molteplicità geometrica coincide con quella algebrica e la somma delle molteplicità è uguale ad n.  Esempi ed esercizi. 


 <font color="#AF0F0F"><b>Luned&igrave; 23 gennaio - Venerd&igrave; 2 marzo</b></font> - Appelli d'esame







   

   * [[%ATTACHURL%/Scheda_4.pdf][Scheda_4.pdf]]: Scheda 4
Attachments
Topic attachments
I	Attachment	History	Action	Size	Date	Who	Comment
pdf	1._Prime_proprieta_degli_spazi_vettoriali_-.pdf	r1	manage	89.1 K	2012-01-04 - 23:06	AntoniettaVenezia	Scheda 5
pdf	2._Insiemi_dipendenti_e_indipendenti.pdf	r1	manage	89.3 K	2012-01-04 - 23:32	AntoniettaVenezia	Scheda 6
pdf	3._Sistemi_lineari_e_Matrici.pdf	r1	manage	184.7 K	2012-01-04 - 23:38	AntoniettaVenezia	Schda 7
pdf	Reticoli_e_pricipio_di_inclusione-esclusione[1].pdf	r1	manage	337.1 K	2011-11-15 - 16:25	AntoniettaVenezia	Reticoli e principio di inclusione esclusione
pdf	SCHEDA_1.pdf	r1	manage	409.6 K	2011-10-09 - 16:50	AntoniettaVenezia	Scheda 1
pdf	Scheda_2.pdf	r1	manage	150.6 K	2011-11-09 - 21:42	AntoniettaVenezia
pdf	Scheda_3.pdf	r1	manage	80.3 K	2011-10-24 - 14:37	AntoniettaVenezia	Scheda 3
pdf	Scheda_4.pdf	r1	manage	79.5 K	2011-11-06 - 23:48	AntoniettaVenezia	Scheda 4