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Diario delle lezioni Algebra M-Z, prof. Antonietta Venezia, a.a. 2011-2012

Lunedý 3 ottobre (Lezione 1) - Introduzione al corso. Strutture algebriche: definizione di gruppo,il gruppo simmetrico;definizione di anello,l'anello degli interi Z;definizione di campo,il campo dei numeri reali R;definizione di spazio vettoriale, lo spazio vettoriale delle n-ple di numeri reali. Applicazioni lineari ed esempi. Sistemi lineari.

Mercoledý 5 ottobre (Lezione 2) - Relazioni binarie, grafico di una relazione, relazione duale, esempi. Funzioni come relazioni.Relazioni d'ordine,insiemi parzialmente ordinati, intervalli, esempi. L'insieme dei numeri naturali N ordinato dalla divisibilitÓ. L'insieme parzialmente ordinato delle partizioni di un insieme. Diagrammi di Hasse.

Venerdý 7 ottobre (Lezione 3) - Relazioni di equivalenza. Esempi: la relazione di equipotenza tra insiemi, la relazione di congruenza modulo n sull'insieme degli interi, gli interi come quoziente di N x N. Classi di equivalenza, insieme quoziente. Biiezione tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle relazioni di equivalenza. Esercizi.Risolvere gli esercizi della Scheda 1. SCHEDA 1.pdf

Lunedý 10 ottobre (Lezione 4) - Relazioni di equivalenza: proiezione sul quoziente, sezioni. Esempi. Nucleo di una funzione.Teorema di omomorfismo per gli insiemi.Teorema di decomposizione delle applicazioni: ogni funzione pu˛ essere scritta come composizione di una applicazione iniettiva con una suriettiva. Definizione dei numeri naturali. Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni e definizione delle iterazioni di una endofunzione. Regole del calcolo combinatorio: principio della somma, principio del prodotto.

Mercoledý 12 ottobre (Lezione 5) - Definizione e proprietÓ dei monoidi ( N ,+) e ( N -{0},░).Definizione della relazione d'ordine naturale su N e dimostrazione che con tale relazione N Ŕ bene ordinato. Assioma di Zermelo e assioma della scelta. Monoidi e potenze. Esempi. Teorema: Dato un Monoide (M,.) e un elemento a di M, esiste un solo morfismo di monoidi f da (N,+) in (M,.) tale che f (a) = 1. CardinalitÓ dell'insieme delle funzioni da un insieme finito A in un insieme finito R. CardinalitÓ dell'insieme delle parti P (A) di un insieme finito A: dimostrazione per induzione e dimostrazione che P (A) Ŕ in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle funzioni definite su A a valori 0 o 1 (funzioni caratteristiche).

Venerdý 14 ottobre (Lezione 6) - Il coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi. Definizone ricorsiva. Dimostrazione biiettiva del teorema binomiale. Esercizi. Risolvere gli esercizi della Scheda 2. Scheda 2.pdf

Lunedý 17 ottobre (Lezione 7) - Morfismi di strutture algebriche. Isomorfismi. Esempi. Il monoide delle endofunzioni di un insieme. Rappresentazione di una funzione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Principio dei cassetti. Il gruppo simmetrico. Relazione di equivalenza individuata da una permutazione. Cicli di una permutazione, ogni permutazione Ŕ il prodotto dei suoi cicli. Rappresentazione standard di una permutazione come prodotto di cicli.

Mercoledý 19 ottobre (Lezione 8) - Trasposizioni. Ogni permutazione Ŕ il prodotto di trasposizioni. ParitÓ di una permutazione. Il gruppo alterno. Gruppi. Esempi. ProprietÓ: unicitÓ dell'unitÓ, unicitÓ del'inverso, leggi di cancellazione. Sottogruppi. Esempi.

Venerdý 21 ottobre - La lezione Ŕ stata cancellata. Risolvere gli esercizi della Scheda 3. SCHEDA 3.pdf

Lunedý 24 ottobre (Lezione 9) - Condizione necessaria e sufficiente affinchŔ un sottoinsieme non vuoto sia un sottogruppo. Morfismi tra strutture algebriche: l'applicazione inversa di un morfismo Ŕ un morfismo, la composta di due morfismi Ŕ un morfismo. Epimorfismi, monomorfismi, isomorfismi. ProprietÓ dei morfismi di Gruppi: l'immagine dell'unitÓ Ŕ l'unitÓ del codominio, l'immagine dell'inverso di un elemento Ŕ l'inverso dell'immagine di quell'elemento. Nucleo e immagine di un morfismo di gruppi. Un morfismo dal gruppo G nel gruppo G' Ŕ un epimorfismo se e solo se l'immagine Ŕ uguale a G'. Un morfismo Ŕ un monomorfismo se e solo se l'unico elemento del nucleo Ŕ l'unitÓ di G. Gruppi finiti e tabella di composizione.

Mercoledý 26 ottobre (Lezione 10) - Se F Ŕ un morfismo dal gruppo G nel gruppo G' , l'immagine F(H) di un sottogruppo H di G Ŕ un sottogruppo di G'. Anelli, anelli commutativi, anelli unitari. Esempi. Regole di calcolo negli anelli. Sottoanelli. Domini di integritÓ. Campi. Gruppo delle matrici mxn ad elementi in un campo. Prodotto di matrici righe per colonne e sistemi lineari. L'anello delle matrici quadrate.

Venerdý 28 ottobre (Lezione 11) - Matrici elementari. L'anello delle matrici Ŕ un anello unitario, non commutativo e con divisori dello zero. Il gruppo generale lineare di ordine n. L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo, grado di un polinomio. Morfismi di anelli. Esempi. Congruenze. Il gruppo degli interi ( Z ,+) come quoziente del monoide ( N x N , +).

Lunedý 31 ottobre (Lezione 12) - Congruenze rispetto ad una operazione. Dato un gruppo G ed un elemento g di G esiste un solo morfismo di gruppi f dal gruppo ( Z ,+) nel gruppo G tale che f (1) = g. Definizione dell'anello degli interi ( Z ,+,.). Dimostrazione del principio di inclusione-esclusione.Reticoli.

Mercoledý 2 novembre (Lezione 13) - Teorema della divisione in Z . Relazione di divisibilitÓ. Massimo comun divisore di due interi non entrambi nulli. Esistenza e unicitÓ del massimo comun divisore. Algoritmo euclideo delle divisioni successive e identitÓ di BÚzout. Esistenza e unicitÓ del minimo comune multiplo. N con la relazione di divisibilitÓ Ŕ un reticolo.

Venerdý 4 novembre (Lezione 14) - L'ultimo resto non zero dell'algoritmo di Euclide Ŕ il massimo comun divisore. Numeri primi e teorema fondamentale dell'aritmetica. L'anello Zn delle classi resto modulo n>1. Condizione necessaria e sufficiente affinchÚ un elemento sia invertibile in Zn. L'anello Zn Ŕ un campo se e solo se n Ŕ un numero primo. Equazioni di primo grado in Zn: Condizione necessaria e sufficiente affinchÚ l'equazione [a]X = [b] ammetta soluzioni Ŕ che d = MCD(a,n) divida b. Esempi.

Lunedý 7 novembre (Lezione 15) - Applicazioni del principio di inclusione-esclusione: numero delle funzioni suriettive e funzione di Eulero. Anagrammi. Esercizi.cfr Reticoli e principio di inclusione esclusione

Mercoledý 9 novembre (Lezione 16) - Il teorema di Eulero-Fermat, dimostrazione. Il piccolo teorema di Fermat. Ordine di un gruppo e ordine di un suo elemento. Esercizi.

Venerdý 11 novembre (Lezione 17) - Teorema fondamentale di omomorfismo per i gruppi, dato un morfismo di gruppi f la classe [a] costituita dagli elementi che hanno la stessa immagine di a Ŕ uguale all'insieme (a.Ker f ). Relazione di equivalenza individuata da un sottogruppo H di un gruppo (G,.), laterali destri e sinistri. Proposizione: un'equazione in Zn del tipo [a]x = [b] Ŕ compatibile se e solo se MCD(a,n)|d e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d; la soluzione [s] di ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d). Esempi. Equazione diofantee:compatibilitÓ e risoluzione mediante l'algoritmo di Euclide. Esempi.

Lunedý 14 novembre - Interruzione dalla didattica.

Mercoledý 16 novembre - Interruzione dalla didattica

Venerdý 18 novembre - Interruzione dalla didattica. Prova intermedia ore 16, aule Cabibbo e III, Istituto di Fisica.

Lunedý 21 novembre (Lezione 18) - Teorema di omomorfismo per i gruppi: un morfismo f dal gruppo G nel gruppo G' individua il nucleo, sottogruppo di G, e l'immagine, sottogruppo di G'; la relazione su G definita da a equivalente b se e solo se f ( a) = f (b) Ŕ una congruenza su G e il gruppo quoziente Ŕ isomorfo all'immagine, inoltre [ a ] = a Ker f .Esempi.

Mercoledý 23 novembre (Lezione 19) -Laterali destri e sinistri di un sottogruppo H di un gruppo G, tutti i laterali hanno la stessa cardinalitÓ di H.L'insieme del laterali destri (sinistri) costituisce una partizione di G, relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo (che in generale non sono congruenze). Esempio: il gruppo delle permutazioni su 3 elementi.Teorema di Lagrange: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo- Indice di un sottogruppo. Esempi.

Venerdý 25 novembre (Lezione 20) - Sottogruppi normali di un gruppo G ( un sottogruppo si dice normale se per ogni g di G gH = Hg). CNES affinchŔ un sottogruppo sia normale. Un sottogruppo Ŕ normale se e solo se la relazione di equivalenza da esso individuata Ŕ una congruenza. Il nucleo di un morfismo di gruppi Ŕ un sottogruppo normale- Tutti i sottogruppi di indice 2 sono normali.

Lunedý 28 novembre (Lezione 21 ) - Ordine (o periodo) di un elemento di un gruppo. Esempi di elementi di ordine infinito. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Sottogruppo generato da un solo elemento. Gruppi ciclici. Un gruppo ciclico infinito Ŕ isomorfo a ( Z ,+). Un gruppo ciclico finito di ordine n Ŕ isomorfo a ( Z n,*).

Mercoledý 30 novembre - La lezione Ŕ stata cancellata.

Venerdý 2 dicembre - La lezione Ŕ stata cancellata.

Lunedý 5 dicembre (Lezione 22 ) - I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. Se G Ŕ un gruppo ciclico di ordine n allora per ogni divisore h di n esiste un sottogruppo ciclico di ordine h. Reticolo dei sottogruppi di *Z*n. Se x Ŕ un elemento di periodo n, allora la potenza t-esima di x ha periodo n/MCD(n,t). I generatori di un gruppo ciclico di ordine n sono tutti e soli gli elementi di periodo n. Definizione di spazio vettoriale su un campo. Esempi. Applicazioni lineari-

Mercoledý 7 dicembre (Lezione 23) - Sottospazi di uno spazio vettoriale. Esempi. Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare sono sottospazi. Sottospazio intersezione di sottospazi. Sottospazio generato da un sottoinsieme. Reticolo dei sottospazi. Il sottospazio generato dall'unione di due sottospazi U e W Ŕ il sottospazio somma U+W. L'intersezione di due sottospazi Ŕ il solo vettore nullo se e solo se ogni vettore di (U+W) si esprime in modo unica come somma di un vettore di U e uno di W(somma diretta). Complementi ed esercizi :prime proprietÓ degli spazi vettoriali

Venerdý 9 dicembre - La lezione Ŕ stata cancellata.

Lunedý 12 dicembre (Lezione 24) - Combinazione lineare. Il sottospazio generato da un sottoinsieme S Ŕ costituito dalle combinazioni lineari dei vettori di S. Vettori indipendenti e vettori dipendenti da un sottoinsieme di vettori. Insiemi linearmente dipendenti e insiemi linearmente indipendenti. Un insieme Ŕ indipendente se e solo se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo Ŕ quella con i coefficienti tutti nulli. Base di uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale ha una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalitÓ (senza dimostrazione). Le seguenti proposizioni sono equivalenti:a) il sottoinsieme B Ŕ una base; b) B Ŕ un insieme di generatori minimale; c) B Ŕ un insieme indipendente massimale; d) ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B- Coordinate di un vettore rispetto ad una base.Dimensione. Un'applicazione lineare Ŕ determinata dai valori che assume su una base del dominio. Ogni spazio vettoriale V su un campo K ha dimensione n se e solo se Ŕ isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di K. Complementi ed esercizi; insiemi dipendenti e insiemi indipendenti

Mercoledý 14 dicembre (Lezione 25) - Ogni applicazione lineare iniettiva manda insiemi indipendenti in insiemi indipendenti.Teorema del completamento: Dato un insieme S indipendente con t vettori di uno spazio vettoriale di dimensione n (t<n) Ŕ possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' Ŕ una base S . Esempi. Teorema dell'estrazione di una base: dato un sistema di generatori G con t elementi (n<t) Ŕ possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' Ŕ una base. Esempi. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine di una applicazione lineare.

Venerdý 16 dicembre (Lezione 26) - Sistemi lineari: matrice dei coefficienti e matrice completa. Applicazione lineare L(A) individuata da una matrice A. L'immagine Im L(A) Ŕ generata dalle colonne di A. Rango per colonne di una matrice. Il sistema Ŕ AX = B Ŕ compatibile se e soltanto se B appartiene all'immagine di L(A) e quindi se e soltanto se B appartiene allo spazio generato dalle colonne di A. L'insieme delle soluzioni di AX = B Ŕ uguale all'insieme S + Ker L(A), dove AS = B, ossia ogni soluzione si esprime come somma di una soluzione particolare S con una soluzione del sistema omogeneo associato. Teorema di RouchŔ-Capelli. Esempi. Complenti ed esercizi: sistemi lineari e matrici

Lunedý 19 dicembre (Lezione 27) - Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss: matrici a scala per righe, pivot, le righe non nulle di una matrice a scala costituiscono un insieme indipendente. Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe, metodo di Gauss per determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data. Esempi. Risoluzione di sistemi a scala: variabili dipendenti e indipendenti. Costruzione di un sistema a scala equivalente ad un sistema dato. Esempi. Rango per righe di una matrice. Un sistema lineare AX = B Ŕ compatibile se e solo se il rango per righe della matrice A Ŕ uguale al rango per righe della matrice completa (A|B). L'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo AX = 0 Ŕ il nucleo Ker L dell'applicazione lineare L che ad ogni vettore X associa L(X) = AX, dim Ker L = n- (rango per righe di A). Il rango per colonne di una matrice A Ŕ uguale al suo rango per righe. Esempi.

Giovedi 22 dicembre 2011- 8 gennaio 2012 - Vacanze di Natale

Lunedý 9 gennaio (Lezione 28) - Applicazioni lineari e matrici: matrice asociata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V' rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Esempi.

Mercoledý 11 gennaio (Lezione 29) - Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e m = dim V'. Esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Esempi.

Venerdý 13 gennaio (Lezione 30) - Matrici quadrate invertibili. Se A Ŕ una matrice di ordine n ad elementi in K, le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1)A Ŕ invertibile-2) L'applicazione lineare che ad ogni n-pla X di elemnti di K associa AX Ŕ un isomorfismo. 3) Il rango di A Ŕ n. 4) Il sistema AX = 0 ammette solo la soluzione nulla. 5) Il sistema AX = B ammette una sola soluzione. Calcolo della matrice inversa, esempi. Cambiamenti di base in uno spazio vettoriale. Determinante di una matrice quadrata. Matrici elementari, determinante di una matrice elementare E, det(EA) =det(E) det(A), il determinante della matrice trasposta di E Ŕ uguale al det(E).Determinante di una matrice a scala. Una matrice A Ŕ invertibile se e solo se det(A) Ŕ non nullo. Teorema di Binet :det(AB) = det(A)det(B).

Lunedý 16 gennaio (Lezione 31) - Una matrice di ordine n ha determinante non nullo se e solo se il suo rango Ŕ n. Le matrici con determinante non nullo sono tutte quelle equivalenti per righe all'identitÓ. determinante della matrice inversa, determinante della matrice trasposta. Definizione di minore di una matrice e calcolo del determinante mediante lo sviluppo di Laplace (senza dimostrazione). Teorema di Cramer (senza dimostrazione). Esempi ed esercizi.

Mercoledý 18 gennaio (Lezione 32) - Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: relazione di similitudine tra matrici quadrate, matrici quadrate simili rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Esempi ed esercizi.

Venerdi 20 gennaio (Lezione 33) - Autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicitÓ geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L Ŕ diagonalizzabile se e solo se Ŕ possibile determinare una base formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e molteplicitÓ algebrica di un autovalore. Gli autospazi hanno somma diretta (senza dimostrazione). Relazione tra la molteplicitÓ geometrica e quella algebrica. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Un endomorfismo L di uno spazio vettoriale di dimensione n Ŕ diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore la sua molteplicitÓ geometrica coincide con quella algebrica e la somma delle molteplicitÓ Ŕ uguale ad n. Esempi ed esercizi.

Lunedì 23 gennaio - Venerdì 2 marzo - Appelli d'esame

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PDFpdf 2._Insiemi_dipendenti_e_indipendenti.pdf r1 manage 89.3 K 2012-01-04 - 23:32 AntoniettaVenezia Scheda 6
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