DiarioLezioni < Algebra/MZ/AA1314

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Diario delle lezioni Algebra M-Z, prof. Antonietta Venezia, a.a. 2013-2014 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 30 settembre (Lezione 1)</b></font>  - Introduzione al corso. Concetti fondamentali: prodotto cartesiano, relazioni, funzioni come relazioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Composizione di funzioni. Strutture algebriche: tavole di composizione,  definizione di monoide e di gruppo, il gruppo simmetrico; definizione di spazio vettoriale, lo spazio vettoriale delle n-ple di numeri reali e dei vettori geometrici. 

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 2 ottobre (Lezione 2)</b></font>  - Relazioni su un insieme, relazione duale, esempi. Relazioni d'ordine, insiemi parzialmente ordinati, intervalli, esempi. L'insieme dei numeri naturali *N* ordinato dalla divisibilità. Diagrammi di Hasse. L'insieme parzialmente ordinato delle partizioni di un insieme, esempi, nucleo di una funzione. 

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 4 ottobre (Lezione 3)</b></font>  - Relazioni di equivalenza. Esempi: la relazione di equipotenza tra insiemi, la relazione di congruenza modulo n sull'insieme degli interi, gli interi come quoziente di *N* x *N*. 
Proprietà delle relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e insieme quoziente. Biiezione tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle relazioni di equivalenza, esempi. Relazione di equivalenza individuata da una funzione. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 7 ottobre (Lezione 4)</b></font>  - Proiezione sul quoziente, sezioni, assioma della scelta, esempi. Inversa destra e inversa sinistra di una applicazione. Una sezione è un'inversa destra della proiezione. Teorema di omomorfismo per gli insiemi. Teorema di decomposizione delle applicazioni: ogni funzione può essere scritta come composizione di una applicazione iniettiva con una suriettiva. Strutture di monoide nell'insieme delle parti di un insieme. Definizione di reticolo: il reticolo dei sottoinsiemi di un insieme. Il reticolo duale.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 9 ottobre (Lezione 5)</b></font>  - Operazioni su un reticolo e loro proprietà (L1,L2,L3,L4). Insiemi parzialmente ordinati e reticoli  prodotto. Morfismi e isomorfismi di insiemi parzialmente ordinati e di reticoli. Funzione caratteristica di un sottoinsieme.  Il reticolo dell'insieme delle parti di un insieme A è isomorfo al reticolo delle funzioni su A a valori 0 o 1.  Consultare : [[%ATTACHURL%/Reticoli.pdf][Insiemi parzialmente ordinati e Reticoli]] 

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdi 11 ottobre (Lezione 6)</b></font>- Proprietà fondamentali dei reticoli:le operazioni sono isotone, principio di dualità. Disuguaglianze distributive e modulari. Reticoli distributivi. Le proprietà L1,L2,L3,L4 caratterizzano i reticoli come strutture algebriche. Il reticolo delle partizioni di un insieme.

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 14 ottobre (Lezione 7)</b></font>  -  Definizione dei numeri naturali secondo [[http://www.webfract.it/FRATTALI/vitaPeano.htm#se][Peano]].
 Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni, definizione delle iterazioni di una endofunzione e delle iterazioni di una operazione in un monoide. Proprietà della funzione successore. Il monoide ( *N* ,+) e legge di cancellazione. Il monoide ( *N* -{0}, . ) e  legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su *N* -Morfismi di strutture algebriche e morfismi di monoidi, esempi. Risolvere gli esercizi della  [[%ATTACHURL%/Scheda_1-_ott._2013.pdf][Scheda 1]].

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 16 ottobre (Lezione 8)</b></font> - L'insieme dei numeri naturali *N* con la relazione d'ordine naturale è ben ordinato.  Dimostrazione del teorema di divisione in *Z* attraverso il buon ordinamento. Enumerare e contare. Principi del calcolo combinatorio: principio di uguaglianza, regole della somma e del prodotto. Cardinalità dell'insieme delle funzioni da un insieme finito A in un insieme finito R.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdi 18 ottobre (Lezione 9)</b></font>  - Dimostrazioni biiettive. Esempi. Fattoriale decrescente e numero delle funzioni iniettive. Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con _k_ elementi di un insieme con _n_ elementi: proprietà e formula di Pascal. Dimostrazione biiettiva del Teorema binomiale. (Riguardo ai coefficienti binomiali si possono consultare le 
[[http://www.dsi.uniroma1.it/~md1c/md1c.pdf][dispense del corso di Combinatoria]]  di Körner e Malvenuto, pag 25 e seguenti). 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 21 ottobre (Lezione 10)</b></font> - Coefficienti multinomiali e scomposizioni di un insieme finito. Teorema multinomiale. Rappresentazione di una funzione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Principio dei cassetti: esempi. Dimostrazione del Principio di inclusione-esclusione e applicazione al calcolo del numero di funzioni suriettive da un insieme con n elementi in un insieme con r elementi. Calcolo dei numeri di Stirling di II specie. Consultare:
 [[%ATTACHURL%/Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf][Principio di inclusione-esclusione]]


<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledi 23 ottobre </b></font>- La lezione è stata cancellata. 

<font color="#AF0F0F"><b>  Venerdi 25 ottobre (Lezione 11)</b></font> - Strutture algebriche con una operazione: monoidi e gruppi. Sottostrutture: sottomonoidi e sottogruppi, esempi. Morfismi di monoidi e morfismi di gruppi. Potenze in un monoide e proprietà.  Dato un monoide (M,.) e un elemento a di M, esiste un solo morfismo di monoidi f da ( *N* ,+) in (M,.) tale che f (a) = 1.  Dato un gruppo(G,.) e un elemento a di G, esiste un solo morfismo di gruppi f da ( *Z*,+) in (G,.) tale che f (a) = 1. 
 Congruenza rispetto ad una operazione e struttura algebrica sul quoziente, esempi: la relazione su *N* x *N*  che definisce (a,b) equivalente a (c,d) se a+d =b+c, il cui quoziente è isomorfo al gruppo degli interi; la congruenza modulo n in ( *Z* ,+) e il gruppo ( *Z* /n *Z*,+). ordine di un elemento di un gruppo.
Risolvere gli esercizi della [[%ATTACHURL%/Scheda_2-_ott._2013.pdf][Scheda 2]]. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 28 ottobre (Lezione 12)</b></font>- Sottogruppi, CNES affinché un sottoinsieme sia un sottogruppo. Relazione di equivalenza individuata da un morfismo di semigruppi. Teorema di omomorfismo per i monoidi, esempi. Caratterizzazione dei morfismi di gruppi. Nucleo e immagine di un morfismo _f_ di gruppi. Teorema di omomorfismo per i gruppi: _x_ Ker _f_ = Ker _f_ _x_ è la classe di equivalenza costituita da tutti gli elementi del dominio la cui immagine è uguale a quella di _x_. Esempi. Polinomi a coefficienti reali in una indeterminata. Un morfismo _f_  di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il Ker _f_ è costituito solo dall'unità del dominio, è suriettivo se e solo se il sottogruppo Im _f_ coincide con il codominio.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 30 ottobre (Lezione 13)</b></font> - Il gruppo simmetrico. Rappresentazione di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti, rappresentazione standard. Ogni permutazione è il prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e permutazioni dispari. Ordine di una permutazione. Il gruppo alterno e sua cardinalità. Esempi ed esercizi.

<font color="#AF0F0F"><b>  Venerdi 1 novembre </b></font>  - Vacanza accademica

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 4 novembre (Lezione 14) </b></font>  Relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo H di un gruppo (G,.) e relativi insiemi quozienti, laterali destri e sinistri, tutti i laterali hanno la stessa cardinalità di H. Teorema di Lagrange: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo. Indice di un sottogruppo. Sottogruppi normali: per ogni elemento a del gruppo G aH=Ha. CNES affinchè un sottogruppo sia normale. Il gruppo alterno è un sottogruppo normale del gruppo delle permutazioni su n elementi. I nuclei dei morfismi di gruppi sono sottogruppi normali. Esempi. Strutture algebriche con 2 operazioni: anelli. Anelli commutativi, anelli unitari e domini di integrità. Esempio di un anello con divisori dello zero. Teorema di divisione : dati due interi a,b con b non nullo esiste un'unica coppia (q,r) con r numero naturale e r< |b| tale che a = qb+r . Esistenza e unicità del minimo comune multiplo di due interi non entrambi nulli. Esistenza ed  unicità del massimo comun divisore di due interi non entrambi nulli.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledi 6 novembre (Lezione 15)</b></font>  - Identità di Bézout. Algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore e di una identità di Bézout. Esempi. Numeri primi. 
L'anello ( *Z* /n *Z*,+, .) delle classi resto modulo n, una classse [a] in tale anello è invertibile se e solo se MCD(a,n)=1. 
Il gruppo U( *Z* /n *Z*) degli elementi invertibili. L'anello ( *Z* /n *Z*,+, .) è un campo se e solo se n è un numero primo. Equazioni di primo grado in Z*/n*Z: condizione necessaria e sufficiente affinchè un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni: un'equazione in *Z* /n *Z*  del tipo [a]x = [b] è compatibile se e solo se MCD(a,n)|b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d; la soluzione [s] modulo n/d di ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d). Esempi. Risolvere gli esercizi della  [[%ATTACHURL%/Scheda_3-_nov._2013.pdf][Scheda 3]].

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdi 8 novembre (Lezione 16)</b></font> - Anagrammi e scomposizioni di un insieme, anagrammi e relativa relazione di equivalenza. Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una fra sequenze assegnate. Esempi ed esercizi. (cfr.[[%ATTACHURL%/Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf][Esempio 4:anagrammi)]]. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 11 novembre </b></font>  Interruzione della didattica.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledi 13 novembre </b></font>  - Interruzione della didattica, prova intermedia.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdi 15 novembre </b></font>  - Interruzione della didattica.

 <font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 18 novembre (Lezione 17)</b></font>  - Numeri primi, ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o è il prodotto di numeri primi. Se un numero primo _p_  divide il prodotto di due interi allora uno dei due numeri è divisibile per p . Teorema fondamentale dell'aritmetica. Funzione di Eulero (cfr.  [[%ATTACHURL%/Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf][Esempio 1]]) e ordine del gruppo U(*Z* /n *Z*). 
Il teorema di Eulero-Fermat, dimostrazione come conseguenza del teorema di Lagrange e dimostrazione diretta. Corollario: il piccolo teorema di Fermat. Applicazione.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 20 novembre (Lezione 18)</b></font> - I numeri primi sono infiniti.  Equazioni diofantee: condizione necessaria e sufficiente affinché un'equazione diofantea sia compatibile e calcolo delle soluzioni. Esempi. 
Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. Gruppi ciclici. Sottogruppi di (*Z* ,+).

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 22 novembre (Lezione 19)</b></font> - Ogni gruppo ciclico infinito è isomorfo a (*Z* ,+), ogni gruppo ciclico di ordine n è isomorfo al gruppo (*Z* /n *Z* , +) delle classi resto modulo n. I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici, esempi. Prodotto tra matrici. L'anello delle matrici quadrate di ordine n su un campo K  è un anello unitario, non commutativo e con divisori dello zero. Matrici associate ad un sistema lineare e sua rappresentazione. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo, grado di un polinomio, elementi invertibili.

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 25 novembre (Lezione 20)</b></font> - Morfismi di anelli, sottoanelli, ideali. Teorema di omomorfismo per gli anelli. Esempi ed esercizi. Definizione di spazio vettoriale su un campo *K*. Esempi: lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto, lo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo *K* , lo spazio dei polinomi *K* [x], lo spazio vettoriale delle matrici. 

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 27 novembre (Lezione 21)</b></font>  - Sottospazi di uno spazio vettoriale. Combinazioni lineari. CNES affinché un sottoinsieme sia un sottospazio.  L'intersezione di sottospazi è un sottospazio, spazio generato da un sottoinsieme. Lo spazio generato da un sottoinsieme S coincide con l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di S. Il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale. Lo spazio vettoriale dei vettori liberi dello spazio euclideo. Somma di due sottospazi, la somma coincide con lo spazio generato dall'unione dei due sottospazi, esempi. Dipendenza e indipedenza lineare, esempi. (cfr. [[%ATTACHURL%/1.Spazi_vettoriali,_prime_proprieta.pdf][Spazi vettoriali: prime proprietà]] ).

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 29 novembre (Lezione 22)</b></font> - Caratterizzazione degli insiemi dipendenti: un insieme S è dipendente se esiste una combinazione lineare non banale di vettori di S uguale al vettore nullo. Caratterizzazione degli insiemi indipendenti:un insieme S è indipendente se l'unica combinazione lineare di vettori di S uguale al vettore nullo è quella banale. Basi di uno spazio vettoriale. Teorema: Ogni spazio vettoriale ammette una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione).Spazi vettoriali di dimensione finita. Un insieme è una  base se e solo se è un insieme di generatori minimale, un insieme è una base se e solo se è un insieme indipendente massimale. Un insieme B è una base se e solo se ogni vettore dello spazio può esprimersi in modo unico come combinazione lineare di vettori di B, coordinate di un vettore rispetto ad una base. Se S è un insieme indipendente allora: un vettore v appartiene allo spazio generato da S se e solo se l'insieme costituito da v e dai vettori di S è dipendente.Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t <n, è possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi (n<t) è possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V. Esempi. 
(cfr. [[%ATTACHURL%/2.Insiemi_dipendenti_e_indipendenti,_basi.pdf][Insiemi dipendenti e indipendenti, basi]]).

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 2 dicembre (Lezione 23)</b></font>  - Applicazioni lineari: condizione necessaria e sufficiente affinché una applicazione sia lineare,  il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare sono sottospazi, . una applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito solo dal vettore nullo, esempi, l'immagine di un insieme dipendente è dipendente, l'immagine di un sottospazio è un sottospazio, l'immagine di un insieme indipendente è indipendente se e solo se  l'applicazione lineare è iniettiva. Isomorfismi. Teorema: ogni spazio vettoriale V sul campo *K*  ha dimensione n se e solo se è isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi del campo *K*. Esempi.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 4 dicembre (Lezione 24)</b></font> -Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali, esempi. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine. Analogia tra cardinalità e dimensione. Formula di Grassmann. Esempi.(cfr.[[%ATTACHURL%/3.Applicazioni_lineari.pdf][Applicazioni lineari]]) 


<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 6 dicembre (Lezione 25)</b></font> - L'intersezione di due sottospazi U e W  è il solo vettore nullo se e solo se ogni vettore di (U+W) si esprime in modo unico come somma di un vettore di U e uno di W (somma diretta). Esempi.  Spazio generato dalle righe e spazio generato dalle colonne di una matrice, rango per righe e rango per colonne di una matrice. Applicazione lineare L(A) individuata dalla matrice A di m righe e n colonne, l'immagine di L(A) è generata dalle colonne di A, quindi il rango per colonne di A è la dimensione di Im L(A). Il nucleo di L(A) è il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo AX = O ha dimensione (n - dim Im L(A)). L'insieme delle soluzioni di AX = B è costituito dai vettori X tali che L(A)(X)= B  ed è uguale  all'insieme H + Ker L(A), dove AH = B, (ossia ogni soluzione di AX = B si esprime come somma di una soluzione particolare H con una soluzione del sistema omogeneo associato). Matrici a scala per righe, pivot, le righe non nulle di una matrice a scala costituiscono un insieme indipendente (il rango per righe di una matrice a scala è uguale al numero delle righe non nulle). 


<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 9 dicembre (Lezione 26)</b></font>  - Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe, matrici elementari, il prodotto EA di una matrice elementare E per una matrice A è uguale alla matrice ottenuta da A applicando l'operazione elementare che dalla matrice identità I porta ad E, calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Risoluzione di un sistema a scala SX=B: variabili dipendenti e indipendenti, il sistema a scala è compatibile se e solo se il rango per righe di S è uguale al rango per righe di S|B. Risoluzione di un sistema lineare AX = B con il metodo di Gauss. Il rango per righe di una matrice è uguale al suo rango per colonne. Teorema di Rouché-Capelli. Esempi. Risolvere gli esercizi della [[%ATTACHURL%/Scheda_4-_dic._2013.pdf][Scheda 4]].


<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 11 dicembre (Lezione 27)</b></font> - Esempi di problemi che comportano la risoluzione di sistemi lineari o il calcolo di una matrice equivalente per righe: data un'applicazione lineare calcolare una base dell'immagine e  una del nucleo, dato un sottospazio generato da un insieme finito di vettori G determinarne  una base, determinare una base della somma e dell'intersezione di due sottospazi, dato un insieme indipendente S determinare una base contenente S.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 12 dicembre (Lezione 28)</b></font>  Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L, definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Esempi. Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e m = dim V'. Esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Esempi. (cfr.[[%ATTACHURL%/4.Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf][Applicazioni lineari e matrici]]).

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 16 dicembre (Lezione 29)</b></font>  - Basi di Hom(V,V'), esempi. Matrici invertibili, le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) A è una matrice nxn invertibile. b) Il sistema AX = 0 ammette una sola soluzione. c) L'endomorfismo  L(A) definito da L(A)(X) = AX  è un isomorfismo.  d) Il rango di A è n. e) Il sistema AX=B ammette una sola soluzione per ogni n-pla B. Calcolo dell'inversa: la i-esima colonna dell'inversa di A è l'unica soluzione del sistema AX = (i-esima colonna di I). Definizione di determinante. Minori e complementi algebrici. Regola di Laplace per il calcolo del determinante (senza dimostrazione) e determinante della matrice trasposta. 

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 18 dicembre (Lezione 30)</b></font>  - Proprietà del determinante. Il determinante di una matrice a scala è il prodotto degli elementi della diagonale. Se A è una matrice equivalente per righe alla matrice a scala S e le operazioni elementari eseguite per ottenere S da A sono solo del tipo 1 e 3, allora det (A) è uguale a det(S) o a -det(S). Il determinante di una matrice A è diverso da zero se e solo se rango di A è massimo. Teorema di Binet : det(AB) = det(A) det(B), dimostrazione tramite la matrici elementari. Determinante della matrice inversa. Matrice aggiunta e calcolo dell'inversa, esempi.  Teorema di Cramer (senza dimostrazione).

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 20 dicembre (Lezione 31)</b></font>  Cambiamenti di base di uno spazio vettoriale. Esempi. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Esempi ed esercizi. (cfr.
[[%ATTACHURL%/5.Diagonalizzazione.pdf][Matrici simili e diagonalizzazione]])

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 23 dicembre - Lunedi 6 gennaio 2014 </b></font>  - Vacanze di Natale.


<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 8 gennaio 2014 (Lezione 32)</b></font>  - Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi. Autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e molteplicità algebrica di un autovalore. Un endomorfismo L è un isomorfismo se e solo se tutti i suoi autovalori sono non nulli. Come diagonalizzare un endomorfismo o una matrice.
 
<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 10 gennaio (Lezione 33)</b></font> - Il polinomio caratteristico è un invariante per similitudine. La molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale della sua molteplicità algebrica. Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata di ordine n ha grado uguale ad n e il suo termine noto è detA. Autovettori relativi ad autovalori a due a due distinti sono indipendenti. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) L'endomorfismo L di V è diagonalizzabile. b) Esiste una base formata da autovettori di L. c) V è somma diretta di autospazi. d) Ogni autovalore ha molteplicità albebrica uguale a quella geometrica e la somma delle molteplicità di tutti gli autovalori è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale V. Esempi ed esercizi.


<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 13 gennaio (Lezione 34)</b></font> - La traccia di una matrice è un invariante per similitudine. L'uguaglianza del determinante, del rango, del polinomio caratteristico è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché due matrici siano simili. Definizioni di applicazioni lineari.  Esercizi. 

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Ordine di un gruppo e ordine di un suo elemento. Funzione di Eulero 

Venerdì 9 novembre (Lezione 19</b></font> ) - Formualazioni equivalenti del principio di induzione. Numeri primi, ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o è il prodotto di numeri primi. Se un numero primo p divide il prodotto ab di due interi allora uno dei due numeri è divisibile per p . Teorema fondamentale dell'aritmetica. I numeri primi sono infiniti. Esercizi: anagrammi, equzioni diofantee, congruenze. 




Lunedì 19 novembre (Lezione 20)</b></font>  - Riepilogo: gruppi, ordine di un gruppo, ordine di un elemento, sottogruppi, morfismi. Teorema di omomorfismo per i gruppi: un morfismo f dal gruppo G nel gruppo G' individua il nucleo, sottogruppo di G, e l'immagine, sottogruppo di G'; la relazione su G definita da a equivalente b se e solo se f (a) = f (b) è una congruenza su G e il gruppo quoziente è isomorfo all'immagine, inoltre [ a ] = a Ker f .Esempi. Polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo e funzioni polinomiali. 

Mercoledì 21 novembre (Lezione 21)</b></font>  - Sottogruppo generato da un sottoinsieme, gruppi ciclici. Reticoli: dei numeri naturali con la divisibilità, dei sottoinsiemi di un insieme, dei sottogrupppi di un gruppo, esempi (cfr. Reticoli) Se a è un elemento di ordine finito t allora una potenza di a è uguale all'unità del gruppo se e solo se t divide l'esponente e due potenze di a sono uguali se e solo se i relativi esponenti sono congrui modulo t. Ogni un gruppo ciclico di ordine infinito è isomorfo al gruppo degli interi (Z,+) e ogni gruppo ciclico finito di ordine n è isomorfo al gruppo (Z /n Z,+) delle classi resto modulo n. 

Venerdì 23 novembre (Lezione 22)</b></font>  - I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. Se G è un gruppo ciclico di ordine n allora per ogni divisore h di n esiste un sottogruppo ciclico di ordine h. Relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo H di un gruppo (G,.) e relativi insiemi quozienti, laterali destri e sinistri, tutti i laterali hanno la stessa cardinalità di H. Lunedì 28 novembre (Lezione 23)</b></font>  - Lunedì 26 novembre (Lezione 23 ) - Corollari del teorema di Lagrange: generalizzazione del teorema di Fermat (se G è un gruppo finito di ordine n allora la potenza ennesima di ogni elemento è uguale all'unità), se l'ordine di un gruppo G è un numero primo allora i sottogruppi di G sono solo quelli banali e quindi G è ciclico. La relazione di equivalenza su G definita da H è una congruenza se e solo se H è un sottogruppo normale di G. Il nucleo di un morfismo di gruppi è un sottogruppo normale. Il gruppo di Klein. Ogni gruppo di ordine 4 è isomorfo al gruppo di Klein oppure al gruppo abeliano delle classi resto modulo 4. 

Mercoledì 28 novembre (lezione 24)</b></font>   - Anelli, anelli commutativi, anelli unitari, dominii di integrità. Esempi. Legge di annullamento del prodottto.Campi. Grado di un polinomio. L'anello K [x] dei polinomi in una indeterminata x a coefficienti in un campo K: polinomi invertibili, l'anello dei polinomi è privo di divisori dello zero. Teorema di divisione: algoritmo della divisione tra polinomi. Radici di un polinomio. Se a è radice del polinomio p(x) allora p(x) è divisibile per il polinomio (x- a ). Ogni polinomio non nullo di grado n ha al più n radici. Due polinomi p(x) e g(x) sono uguali se e solo se per ogni n intero positivo p(n) = g(n). Definizione di matrice con m righe e n colonne. Il gruppo (M(m,n),+) delle matrici con m righe e n colonne. 

Venerdì 30 novembre (Lezione 25)</b></font>  - Lunedì 3 dicembre (Lezione 26)</b></font> - Mercoledì 5 dicembre (Lezione 27)</b></font>  - ) 

Venerdì 7 dicembre (Lezione 28)</b></font>   - Lunedì 10 dicembre (Lezione 29 )</b></font>  -  
Mercoledi 12 dicembre (Lezione 30)</b></font>   - .  Lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle appplicazioni lineari dallo spazio vettoriale V nello spazio vetttoriale V'. Esempi ed esercizi. 

Venerdi 14 dicembre (Lezione 31)</b></font>   - Vettori indipendenti e vettori dipendenti da un sottoinsieme di vettori. Insiemi linearmente dipendenti e insiemi linearmente indipendenti. Un insieme è indipendente se e solo se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella con i coefficienti tutti nulli. Base di uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale ha una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione). Le seguenti proposizioni sono equivalenti:a) il sottoinsieme B è una base; b) B è un insieme di generatori minimale; c) B è un insieme indipendente massimale; d) ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Dimensione. Un insieme indipendente con n elementidi uno spazio vettoriale di dimensione n è una base (senza dimostrazione). Ogni applicazione lineare iniettiva manda insiemi indipendenti in insiemi indipendenti. Ogni spazio vettoriale V su un campo K ha dimensione n se e solo se è isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di K. Esempi.(cfr. Complementi ed esercizi: basi di uno spazio vettoriale) 

Lunedì 17 dicembre (Lezione 32)</b></font>  - Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t <n, è possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi (n<t) è possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V. Esempi. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n allora un sistema di generatori con n vettori è una base, un insieme di (n+1) vettori è dipendente. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine di una applicazione lineare. Applicazione lineare L(A) individuata da una matrice A, il nucleo di L(A) è il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo AX =O. Rango per righe e rango per colonne di una matrice. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a)un sistema lineare AX=B è compatibile; b) B appartiene all'immagine di L(A); c) B appartiene al sottospazio generato dallle colonne di A. 

Mercoledì 19 dicembre (Lezione 33)</b></font>  -



Giovedi 20 dicembre (Lezione 34)</b></font>  -  L'insieme delle soluzioni di AX = B è uguale all'insieme H + Ker L(A), dove AH = B, ossia ogni soluzione si esprime come somma di una soluzione particolare H con una soluzione del sistema omogeneo associato.Ogni applicazione lineare è individuata dai valori che assume sui vettori di una base. 



 Venerdi 21 dicembre 2012 - 6 gennaio 2013  - Vacanze di Natale. Ripassare svolgendo gli esercizi della Scheda 3 



Lunedì 7 gennaio (Lezione 35)</b></font>  - Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e m = dim V'. Esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Esempi. Matrici quadrate invertibili. Se A è una matrice di ordine n ad elementi in K, le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1)A è invertibile. 2) L'applicazione lineare che ad ogni n-pla X di elementi di K associa AX è un isomorfismo. 3) Il rango di A è n. 4) Il sistema AX = 0 ammette solo la soluzione nulla. 5) Il sistema AX = B ammette una sola soluzione. Calcolo della matrice inversa risolvendo sistemi lineari. Definizione della funzione determinante e sue proprietà. i di righe con righe del tipo R + k R' e scambi di righe allora det(A) è uguale a det(S) o a -det(S). Esempi. Una matrice A è invertibile se e solo se det(A) è non nullo. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Determinante della matrice inversa. Complementi ed esercizi: applicazioni lineari e matrici . 



Mercoledì 9 gennaio (Lezione 36)</b></font>  - Teorema di Cramer (senza dimostrazione).Venerdi 11 gennaio (Lezione 37)</b></font>  - Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi. Autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico, grado del polinomio caratteristico, molteplicità algebrica di un autovalore. Gli autospazi hanno somma diretta (senza dimostrazione). Relazione tra la molteplicità geometrica e quella algebrica. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Un endomorfismo L di uno spazio vettoriale di dimensione n è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore la sua molteplicità geometrica coincide con quella algebrica e la somma delle molteplicità è uguale ad n. Un endomorfismo L di uno spazio vettoriale V di dimensione n è diagonalizzabile se e solo se la somma dei suoi autospazi è V. Esempi ed esercizi. 

 Giovedi 14 gennaio (Lezione 38)</b></font>  - Esercizi. Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici. Risolvere gli esercizi della Scheda 4 


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   * [[%ATTACHURL%/2.Insiemi_dipendenti_e_indipendenti,_basi.pdf][2.Insiemi dipendenti e indipendenti, basi]]: Insiemi indipendenti e dipendenfi, basi

   * [[%ATTACHURL%/3.Applicazioni_lineari.pdf][Applicazioni lineari]]: Applicazioni lineari

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   * [[%ATTACHURL%/4.Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf][4.Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf]]: Applicazioni lineari e matrici

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