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DIARIO delle LEZIONI

-- Antonietta Venezia - 2018-09-25

Lunedì 24 settembre (Lezione 1- 3 ore) - Informazioni sul corso (testi, modalità di esame, ricevimento) Presentazione del programma. Concetti fondamentali: insiemi(assegnare un insieme), prodotto cartesiano, relazioni tra insiemi, definizione di una funzione come terna ordinata, relazioni su un insieme. Insiemi parzialmente ordinati, totalmente ordinati, esempi.

Mercoledì 26 settembre (Lezione 2- 2 ore) - Insiemi parzialmente ordinati, esempi: l'insieme delle parti di un insieme, i numeri naturali ordinati dalla divisibilità, le n-ple di numeri reali. Ogni insieme può essere totalmente ordinato (senza dimostrazione). Le proprietà che definiscono una relazione d'ordine sono indipendenti. Diagrammi di Hasse, esempi. - Relazioni di equivalenza, le proprietà che definiscono le relazioni di equivalenza sono indipendenti. Esempi: la relazione di congruenza modulo un intero n, relazione di equivalenza individuata da una funzione f ( nucleo di equivalenza di f ). Partizioni, classi di equivalenza e insieme quoziente, esempi. Biezione naturale tra le relazioni di equivalenza su un insieme A e le partizioni di A. ([1] p. 7-17)

Venerdì 28 settembre (Lezione 3- 2,5 ore) - Relazione di raffinamento sull'insieme delle partizioni di A. Immagine di una funzione, funzioni iniettive, funzioni suriettive, biunivoche. Cardinalità. Insiemi di funzioni e cardinalità. Composizione di funzioni e proprietà. Proiezione canonica di A nel suo quoziente, sezione e assioma della scelta (data una partizione di un insieme è sempre possibile scegliere un rappresentante per ogni classe ). L'assioma della scelta è equivalente al Lemma di Zorn e al teorema del buon ordinamento (Ogni insieme non vuoto può essere totalmente ordinato in modo che ogni suo sottoinsieme non vuoto abbia un primo elemento). Ogni funzione può esprimersi come composta di una funzione suriettiva e di una iniettiva. Risolvere gli esercizi della Scheda 1:Concetti fondamentali

Lunedì 1 ottobre (Lezione 4- ore 2) Teorema di omomorfismo per gli insiemi, esempi.Operazioni su un insieme e strutture algebriche. Semigruppi. Monoidi, esempi: il monoide delle endofunzioni, insieme delle parti con l'unione e insieme delle parti con intersezione. Gruppi. Dimostrazioni biettive. Funzione caratteristica di un sottoinsieme e biiezione tra l'insieme delle parti di un insieme A e l'insieme delle funzioni da A in un insieme con 2 elementi ( [1]-Teorema 1.3.7 p.20). Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi, formula di Pascal. Il teorema binomiale e sua dimostrazione biiettiva.

Mercoledì 3 ottobre (Lezione 5 - ore 2,5) Definizione assiomatica dei numeri naturali N secondo Peano. Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni, definizione delle iterazioni di una endofunzione e delle iterazioni di una operazione in un monoide. Proprietà della funzione successore. Il monoide (N ,+) e legge di cancellazione. Il monoide (N -{0}, .) e legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su N, l'insieme dei naturali con tale relazione è totalmente ordinato e le operazioni di addizione e moltiplicazione sono isotone. Altro enunciato del principio di induzione: U è un sottoinsieme di N tale che : (i) m è un elemento di U, (ii) se n, minore o uguale a m , appartiene ad U allora anche (n +1) ; risulta necessariamente U = N - [0, m [.

Venerdì 5 ottobre (Lezione 6 - 2,5 ore) L'insieme dei numeri naturali N è ben ordinato, ossia la relazione d'ordine naturale è totale e ogni sottoinsieme non vuoto ha un primo elemento (dimostrazione per assurdo). ([1] -p.22-28). Fattoriale decrescente e cardinalità dell'insieme delle funzioni iniettive da un insieme con n elementi in un insieme con r elementi; relazione tra coefficiente binomiale e fattoriale decrescente ([3] -p.12-13) .Morfismi di insiemi parzialmente ordinati, esempi; isomorfismi.

Lunedì 8 ottobre (Lezione 7- ore 2,5 ) Morfismi di strutture algebriche, di monoidi, di gruppi: esempi. Sottomonoidi, sottogruppi; esempi. Struttura algebrica su A x A indotta da una struttura algebrica su A. Definizione di congruenza rispetto ad una operazione, la relazione di equivalenza individuata da un morfismo è una congruenza. Teoremi di omomorfismo per le strutture algebriche, i monoidi e per i gruppi. La congruenza su N x N il cui quoziente è isomorfo al monoide ( Z,+). Anelli, anelli unitari, anelli commutativi. L'anello degli interi, teorema di divisione e sua dimostrazione mediante il principio del buon ordinamento. I numeri naturali e il teorema di divisione per gli interi

Mercoledì 10 ottobre (Lezione 8 - ore 2,5) Esempi di morfismi tra monoidi e loro nucleo di equivalenza. La funzione complementare è biunivoca ed è un isormorfismo tra l'insieme delle parti con l'operazione unione nell'insieme delle parti con operazione intersezione. Teorema: Dato un monoide (M,*) e dato un elemento a di M, esiste un solo morfismo di monoidi f dal monoide ( N ,+) al monoide (M,*) tale che f (1) = a . Sottostrutture di una struttura algebrica, sottomonoidi, sottogruppi, CNES affinché un sottoinsieme non vuoto sia un sottogruppo. Morfismi di gruppi: CNES affinché una funzione f definita in G a valori in G' sia un morfismo di gruppi, esempi; il nucleo Ker f (ossia l'insieme [1] degli elementi x di G tali che f (x) = 1) è un sottogruppo del dominio G, l'immagine Im f è un sottogruppo del codominio G', la classe di equivalenza [ a ], costituita dagli elementi di G che hanno la stessa immagine di a , è uguale all'insieme a Ker f e si ha a Ker f = Ker f a

Venerdì 12 ottobre (Lezione 9 - 2,5 ore) Dato un morfismo f di dominio G e codominio G', la classe di equivalenza [ a ], costituita dagli elementi di G che hanno la stessa immagine di a ,è uguale all'insieme a (Ker f ) = Ker f (a) e si ha |Ker f |= |[ a ]| =. Esempi. Dato un gruppo (G,*) e dato un elemento a di G, esiste un solo morfismo di gruppi f di dominio (Z,+) in G tale che f (1) = a .Sottogruppi di un gruppo: l'intersezione di sottogruppi è un sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Gruppi ciclici, esempi. Il reticolo dei sottogruppi di un gruppo, esempi. I sottogruppi di (Z,+) sono tutti e soli del tipo n Z . I sottogruppi del gruppo ( Z (n), +) degli interi modulo n sono tutti e soli del tipo m Z (n).

Lunedì 15 ottobre (Lezione 10 - 2,5 ore) Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico. Relazione su Z di congruenza modulo n (>1), due interi sono congruenti modulo n se e solo se hanno lo stesso resto nella divisione per n . Il gruppo ( Z (n), +) degli interi modulo n . Tavole di moltiplicazione. Il gruppo ( Z (n) , + ) è ciclico e tutti i suoi sottogruppi sono ciclici e del tipo k Z (n ) dove k è un divisore di n inoltre per ogni h divisore di n esiste un sottogruppo di ordine h dato da k Z (n ), esempi : (Z (12) , +)

Mercoledì 17 ottobre (Lezione 11 - 2,5 ore) Ordine di un gruppo. Caratterizzazione dei gruppi ciclici: i gruppi ciclici di ordine infinito sono isomorfi a (Z ,+), ogni gruppo ciclico di ordine n è isomorfo a ( Z (n),+) delle classi resto modulo n , dunque sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici (anche la dimostrazione diretta). Teorema di Lagrange: L'ordine di un sottogruppo di un gruppo di ordine n divide n . Sottogruppi normali e loro caratterizzazione, i nuclei dei morfismi sono sottogruppi normali, i sottogruppi di un un gruppo commutativo sono tutti normali. Esempi ed esercizi.

Ripassare e risolvere gli esercizi della Scheda 2: Funzioni

Venerdì 19 ottobre (Lezione 12 - 2,5 ore) Il gruppo simmetrico S(n) su n elementi. Rappresentazione di una funzione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Relazione di equivalenza individuata da una permutazione, rappresentazione di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti. Ogni permutazione è il prodotto di trasposizioni. Il numero delle trasposizioni di cui una permutazione è il prodotto è sempre pari o sempre dispari (senza dimostrazione). Permutazioni pari e permutazioni dispari.Rappresentazione standard di una permutazione come prodotto di cicli. Il gruppo alterno A(n) su n elementi. Il numero delle permutazioni dispari è uguale a quello delle permutazioni pari e quindi l'insieme A(n) ha cardinalità n! /2.

Ripassare e risolvere gli esercizi della Scheda 3: Strutture algebriche con una operazione

Lunedì 22 ottobre (Lezione 13 - 2,5 ore) Strutture algebriche con due operazioni : Anelli. Anelli unitari, commutativi. Sia a un elemento di un anello allora: 0 a = a 0 = 0. Divisori dello zero: esempi di anelli con divisori dello zero. Massimo comune divisore MCD(a , b) e minimo comune multiplo mcm(a, b) di due interi non entrambi nulli: esistenza ed unicità del minimo comune multiplo, esistenza ed unicità del massimo comune divisore e identità di Bézout, l'insieme S(a , b) = { m >0 : m = a x+ b y , x,y interi} è costituito da tutti i multipli del MCD(a, b ). Il MCD(a, b) e il mcm(a, b) sono rispettivamente l'inf e sup di a e b nel reticolo (N, |). Algoritmo di Euclide delle divisioni successive per il calcolo del massimo comun divisore e di una identità di Bézout : il MCD(a , b) è l'ultimo resto non zero dell'algoritmo di Euclide. ([1] p. 46-50)

Mercoledì 24 ottobre (Lezione 14 - 2,5 ore) Definizione di numero primo. Proposizione fondamentale: Ogni intero a è invertibile in ( Z (n)+, .) se e solo se MCD (a, n) = 1 (ossia a e n sono coprimi). Calcolo dell'inverso di un elemento non nullo di Z (n), esempi. Equazioni diofantee: condizione necessaria e sufficiente affinchè una equazione diofantea sia compatibile, calcolo dell'insieme delle soluzioni, esempi ed esercizi.

Venerdì 26 ottobre (Lezione 15 - 2,5 ore) Campi, esempi. Un campo è privo di divisori dello zero. L'anello ( Z(n),+, .) è un campo se e solo se n è un numero primo. Ogni numero naturale maggiore di 1 è primo o è il prodotto di numeri primi. Lemma: se p è un numero primo e p divide ab allora p divde a o p diide b. Teorema fondamentale dell'aritmetica: Ogni numero naturale maggiore di 1 ha una unica espressione come prodotto di numeri primi. I numeri primi sono infiniti. Definizione della funzione di Eulero e gruppo U( Z (n)) degli elementi invertibili. Teorema di Eulero e corollario, una applicazione del teorema di Eulero.

Lunedì 29 ottobre LEZIONE SOSPESA per ordinanza della Sindaca Virginia Raggi

Mercoledì 31 ottobre (Lezione 16 - 1 ora) Equazioni di primo grado nell'anello delle classi resto modulo n e loro significato in Z. Equazioni di primo grado in Z / n Z: condizione necessaria e sufficiente affinché un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni (un'equazione in Z / n Z del tipo [a]x = [b] è compatibile se e solo se MCD( a,n)| b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d ; la soluzione [s] modulo n/d si ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d)). Esempi.

Venerdì 2 novembre La lezione è sospesa.

Lunedì 5 novembre (Lezione 17 - 2,5 ore Dimostrazione che la soluzione [s] modulo n/d si ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d); s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d)). Sistemi di congruenze: le soluzioni in Z di un sistema costituito da due congruenze : x congruo a modulo m e x congruo b modulo n con MCD (m , n ) =1 appartengono tutte alla stessa classe di congruenza modulo mn , calcolo delle soluzioni in due modi, esempio.

Mercoledì 7 novembre (Lezione 18 - 2,5 ore) Morfismi di anelli unitari: nucleo e immagine, teorema di omomorfismo per gli anelli unitari. Struttura di anello indotta sul prodotto cartesiano di anelli. Il morfismo F dall'anello Z (mn) nell'anello Z (m) x Z (n), F è un isomorfismo se e solo se MCD(m,_n_) = 1. Dimostrazione del Teorema cinese del resto. CN affinchè un sistema di congruenze sia compatibile e calcolo delle soluzioni.

Venerdì 9 novembre (Lezione 19 - 2,5 ore) Il principio di inclusione -esclusione: dimostrazione combinatoria, applicazioni: Calcolo del numero delle funzioni suriettive tra due insiemi finiti. Calcolo della funzione di Eulero. Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una delle sequenze assegnate. Il numero degli anagrammi come numero di classi di equivalenza dell'insieme delle permutazioni su n. Esempi ed esercizi.Principio di inclusione esclusione

Lunedì 12 novembre (Lezione 20- 2,5 ore) Esercizi su morfismi, nucleo e immagine, congruenze. Un esercizio svolto sui sistemi di congruenze:SISTEMI DI CONGRUENZE:

Lunedì 19 novembre (Lezione 21 - 2,5 ore) Esercizio sui morfismi di gruppi. Matrici. Il gruppo delle matrici di m righe e n colonne a coefficienti su un campo K. Prodotto righe per colonne e proprietà. L'anello delle matrici quadrate a coefficienti nel campo K, divisori dello zero. Matrici e sistemi lineari.

Mercoledì 21 novembre ( Prova intermedia - 2,5 ore)

Venerdì 23 novembre (Lezione 22 - 2,5 ore) Morfismi di anelli e sottoanelli. Polinomi a coefficienti in un campo: variabili e indeterminate, grado di un polinomio, anello K [x] dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti nel campo K . Gli unici elementi invertibili di K [x] sono le costanti non nulle. L'anello K [x] non ha divisori dello zero. Teorema di divisione (senza dimostrazione). Radici di un polinomio, teorema della radice. Definizione di spazio vettoriale su un campo K . Esempi: lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto, lo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo K , lo spazio dei polinomi K [x], lo spazio vettoriale delle matrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale, esempi. CNES affinché un sottoinsieme sia un sottospazio. 1.Spazi vettoriali prime proprietà 

Lunedì 26 novembre (Lezione 23- 2,5 ore) L'intersezione di sottospazi è un sottospazio, spazio generato da un sottoinsieme. Combinazioni lineari. Lo spazio generato da un sottoinsieme S coincide con l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di S. Il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale. Somma di due sottospazi, la somma coincide con lo spazio generato dall'unione dei due sottospazi. Somme dirette, caratterizzazione della somma diretta di due sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare, esempi. Caratterizzazione degli insiemi dipendenti: un insieme S è dipendente se esiste una combinazione lineare non banale di vettori di S uguale al vettore nullo; caratterizzazione degli insiemi indipendenti: un insieme S è indipendente se l'unica combinazione lineare di vettori di S uguale al vettore nullo è quella banale. Se S è un insieme indipendente allora un vettore v non in S appartiene allo spazio generato da S se e solo se l'insieme costituito da v e dai vettori di S è dipendente.

Mercoledì 28 novembre ( lezione 24 - 2,5 ore) Base di uno spazio vettoriale, dimensione, esempi. La dipendenza e l'indipendenza lineare dipendono dal campo K su cui è definito la spazio vettoriale. Caratterizzazioni delle basi: un insieme è una base se e solo se è un insieme di generatori minimale, un insieme è una base se e solo se è un insieme indipendente massimale, un insieme B è una base se e solo se ogni vettore dello spazio può esprimersi in modo unico come combinazione lineare di vettori di B. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Ogni spazio vettoriale ammette una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione). In uno spazio vettoriale di dimensione n è una base sia ogni insieme indipendente di n vettori e sia ogni sistema di generatori con n elementi. Applicazioni lineari, condizione necessaria e sufficiente affinché una applicazione L tra spazi vettoriali sullo stesso campo sia lineare (L è lineare se e solo se per ogni a e b scalari e per ogni v, w in V si ha L( a v+ b w) = a L(v)+ b L(w)). Nucleo e immagine, esempi. Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali. Isomorfismi.

Venerdì 30 novembre (Lezione 25 - 2,5 ore) Teorema: "Ogni spazio vettoriale di dimensione n sul campo K è isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di K ". Corollario: "Due spazi vettoriali sullo stesso campo K sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione". Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t, è possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi è possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V ". Esempi. 2. Insiemi dipendenti e indipendenti, basi

Lunedì 3 dicembre (Lezione 26 - 2,5 ore) Formula di Grassman, esempi. Reticoli con funzione rango, analogia tra il concetto di cardinalità e quello di dimensione. Relazione tra la dimensione del nucleo e la dimensione dell'immagine di una applicazione lineare.

Mercoledì 5 dicembre ( lezione 27 - 2,5 ore) Una applicazione lineare è definita solo dai valori che assume su una base, esempi. L'applicazione lineare L(A) definita sullo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di K individuata dalla matrice A di m righe e n colonne. L'immagine di L(A) è generata dalle colonne di A e il nucleo di L(A) è costituito dalle soluzioni del sistema AX = 0.Esempi. Data una matrice A la dimensione dello spazio generato dalle righe di A si dice rango per righe di A, la dimensione dello spazio generato dalle colonne si dice rango per colonne di A, (dunque il rango per colonne è la dimensione dell'immagine di L(A)). Condizione di compatibilità di un sistema lineare AX = B: il rango per colonne della matrice completa A|B deve essere uguale al rango per colonne della matrice dei coefficienti A. 3. Applicazioni lineari

Venerdì 7 dicembre (Lezione 28 - 2,5 ore) Lo spazio vettoriale delle matrici con m righe e n e colonne sul campo K è isomorfo allo spazio vettoriale delle applicazioni lineari definite su n-ple di elementi di K a valori nello spazio vettoriale delle m-ple di elementi di K . Matrici a scala per righe, pivot, le righe non zero di una matrice a scala per righe S costituisce un insieme indipendente (dunque rr(S) è il numero delle righe non nulle). Risoluzione di un sistema lineare a scala SX = B: variabili libere e legate, il sistema a scala è compatibile se e solo se il rango per righe di S è uguale al rango per righe della matrice completa S|B, l'insieme delle soluzioni è in corrispondenza biunivoca con le (n-t)-ple di elementi di K , essendo n il numero delle incognite e t il rango per righe di S. Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss, metodo che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Risoluzione di un sistema lineare AX = B con il metodo di Gauss, esempi. Il rango per righe di una matrice è uguale al suo rango per colonne. Teorema di Rouché-Capelli: Un sistema lineare AX = B è compatibile se e solo se la matrice dei coefficienti A e la matrice completa A|B hanno lo stesso rango. L'insieme delle soluzioni è in corrispondenza biunivoca con le (n-r(A))-ple di elementi di K e data una soluzione particolare Y (AY =B) ogni altra soluzione si può esprimere come (Y + H) dove H è una soluzione del sistema omogeneo associato AX = 0. Matrici quadrate invertibili, le seguenti affermazioni sono equivalenti: a) La matrice A di ordine n è invertibile. b) La matrice A ha rango n. c) La matrice A è equivalente per righe alla matrice identità. d) L'applicazione lineare L(A) è iniettiva. e) L'applicazione lineare L(A) è suriettiva. f) L'applicazione L(A) è un automorfismo. g) Il sistema AX = 0 ha solo la soluzione nulla. h) Il sistema Ax = B ha una sola soluzione per ogni B. Calcolo dell'inversa di una matrice A tramite la risoluzione di n sistemi lineari.

Lunedì 10 dicembre (Lezione 29 - 2,5 ore) Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Isomorfismo tra lo spazio vettoriale L (V,V') delle applicazioni lineari da V in V' e lo spazio vettoriale delle matrici di m righe e n colonne, esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Definizione della relazione di similitudine tra matrici quadrate dello stesso ordine, la relazione di similitudine è una relazione di equivalenza, il rango di una matrice è invariante per similitudine, rango di una applicazione lineare. 4. Applicazioni lineari e matrici

Mercoledì 12 dicembre ( lezione 30 - 2,5 ore) Cambiamenti di coordinate in uno spazio vettoriale : matrice del passaggio dalla base B ad un'altra base B', esempi. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. La traccia di una matrice è invariante per similitudine, esempi. Definizione di determinante come funzione d che ad ogni matrice quadrata di ordine n associa un numero reale in modo che d(A') = - d(A) se A' è ottenuta da A scambiando 2 righe; d(A') = k d(A) se A' è ottenuta da A moltiplicando una riga per lo scalare k; det(A') = det(A) se A' è ottenuta da A sostituendo alla riga i-esima la stessa riga sommata ad un'altra moltiplicata per uno scalare; det(I) = 1. Proprietà della funzione determinante, determinante di una matrice a scala. Il determinante di una matrice A è diverso da zero se e solo se il rango di A è massimo ( in tal caso la matrice si dice "non singolare"). Minore di una matrice quadrata, complemento algebrico e calcolo del determinante con la regola di Laplace. Esistenza e unicità della funzione determinante. Determinante della trasposta di una matrice.

Venerdì 14 dicembre (Lezione 31 - 2,5 ore) Teorema di Binet: d(AB) = d(A) d(B). Il determinante di una matrice A è diverso da zero se e solo se A è invertibile. Determinate dell'inversa di una matrice. Teorema di Cramer, esempi. Teorema degli orlati: Una matrice A di m righe e n colonne ha rango r se e solo se A ha una sottomatrice A' di ordine r non singolare e tutte le sottomatrici ottenute orlando A' sono tutte singolari. Calcolo del rango di una matrice con un parametro. Aggiunta di una matrice e calcolo dell'inversa tramite la matrice aggiunta ( A Agg(A) = d(A) I ). Calcolo dell'inversa tramite il metodo di Gauss. 5.Determinanti.

Lunedì 17 dicembre (Lezione 32 - 2,5 ore) Il determinante è invariante per similitudine. Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e sua invarianza per similitudine, molteplicità algebrica di un autovalore. Calcolo degli autovalori e degli autovettori di matrici e endomorfismi, esempi.

Mercoledì 19 dicembre ( lezione 33 - 2,5 ore) Il polinomio caratteristico di una matrice A di ordine n ha grado n e il suo termine noto è d(A). La molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale alla molteplicità algebrica. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) L'endomorfismo L di V è diagonalizzabile. b) Lo spazio vettoriale V ha una base formata da autovettori di L. c) V è somma diretta degli autospazi di L. d) La molteplicità geometrica di ogni autovalore di L coincide con la sua molteplicità algebrica e la somma delle molteplicità geometriche di tutti gli autovalori è uguale alla dimensione di V. Esercizi. 6. Diagonalizzazione

Venerdì 21 dicembre (Lezione 34 - 2,5 ore) Esercizi su applicazioni lineari e matrici associate, diagonalizzazione, matrici simili.

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