Soluzioni del primo esonero di Architetture 1 (aa. 2000-2001, canale H-Z)

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Esercizio 1

Siano X=x3 x2 x1 x0 ed Y=y2 y1 y0 due numeri binari rispettivamente di 4 e 3 bit.

• Progettate con una PLA il circuito che calcola: Y = (X * 3) mod 5

Soluzione

La tabella di verità è:

x3 x2 x1 x0	X	Y	y2 y1 y0
0 0 0 0	0	0	0 0 0
0 0 0 1	1	3	0 1 1
0 0 1 0	2	1	0 0 1
0 0 1 1	3	4	1 0 0
0 1 0 0	4	2	0 1 0
0 1 0 1	5	0	0 0 0
0 1 1 0	6	3	0 1 1
0 1 1 1	7	1	0 0 1
1 0 0 0	8	4	1 0 0
1 0 0 1	9	2	0 1 0
1 0 1 0	10	0	0 0 0
1 0 1 1	11	3	0 1 1
1 1 0 0	12	1	0 0 1
1 1 0 1	13	4	1 0 0
1 1 1 0	14	2	0 1 0
1 1 1 1	15	0	0 0 0

Minimizziamo y2, y1 e y0 con le mappe di Karnaugh: (con le lettere a..z indico le zone minimizzate nell'ordine)

y2	x1 x0
x3 x2	00	01	11	10
0 0	0	0	1 a	0
0 1	0	0	0	0
1 1	0	1 b	0	0
1 0	1 c	0	0	0

y2 = n(x3) n(x2) x1 x0---+ x3 x2 n(x1) x0 + x3 n(x2) n(x1) n(x0)

y1	x1 x0
x3 x2	00	01	11	10
0 0	0	1 a	0	0
0 1	1 b	0	0	1 bc
1 1	0	0	0	1 c
1 0	0	1 ad	1 d	0

y1 = n(x2) n(x1) x0---+ n(x3) x2 n(x0) + x2 x1 n(x0) + x3 n(x2) x0

y0	x1 x0
x3 x2	00	01	11	10
0 0	0	1 a	0	1 b
0 1	0	0	1 c	1 bc
1 1	1 d	0	0	0
1 0	0	0	1 e	0

y0 = n(x3) n(x2) n(x1) x0---+ n(x3) x1 n(x0) + n(x3) x2 x1 + x3 x2 n(x1) n(x0) + x3 n(x2) x1 x0

Esercizio 2

Si minimizzino algebricamente le funzioni booleane:

• y0 = n(x0(x3 x0 n(x2)---+ x0(n(x1)x3 x2 + x2 x1 x3)))
• y1 = x0(n(x1---+ x0) + x2(x1 + n(x2)))

NOTA: n() corrisponde alla negazione.

Soluzione

y0 = n(x0(x3 x0 n(x2)---+ x0 x3 x2)) =
= n(x0(x3 x0)) =
= n(x3 x0) =
= n(x3)---+ n(x0)

y1 = x0(n(x1) n(x0)---+ x2 x1 + x2 n(x2)) =
= x0 n(x1) n(x0)---+ x2 x1 x0 =
= x2 x1 x0

Esercizio 3

Siano X=x3 x2 x1 x0 ed Y=y2 y1 y0 due numeri binari rispettivamente di 4 e 3 bit.

• Progettate con una PLA il circuito che calcola: Y = (X mod 5)---+ 3

Soluzione

La tabella di verità è:

x3 x2 x1 x0	X	Y	y2 y1 y0
0 0 0 0	0	3	0 1 1
0 0 0 1	1	4	1 0 0
0 0 1 0	2	5	1 0 1
0 0 1 1	3	6	1 1 0
0 1 0 0	4	7	1 1 1
0 1 0 1	5	3	0 1 1
0 1 1 0	6	4	1 0 0
0 1 1 1	7	5	1 0 1
1 0 0 0	8	6	1 1 0
1 0 0 1	9	7	1 1 1
1 0 1 0	10	3	0 1 1
1 0 1 1	11	4	1 0 0
1 1 0 0	12	5	1 0 1
1 1 0 1	13	6	1 1 0
1 1 1 0	14	7	1 1 1
1 1 1 1	15	3	0 1 1

Minimizziamo y2, y1 e y0 con le mappe di Karnaugh:

y2	x1 x0
x3 x2	00	01	11	10
0 0	0	1 a	1 ab	1 b
0 1	1 c	0	1 b	1 bc
1 1	1 cd	1 d	0	1 c
1 0	1 d	1 ad	1 a	0

y2 = n(x2) x0---+ n(x3) x1 + x2 n(x0) + x3 n(x1)

y1	x1 x0
x3 x2	00	01	11	10
0 0	1 a	0	1 c	0
0 1	1 a	1 b	0	0
1 1	0	1 bf	1 d	1 d
1 0	1 e	1 f	0	1 e

Questa è una delle minimizzazioni possibili, altre possono essere ottenute con coperture diverse.

y1 = n(x3) n(x1) n(x0)---+ x2 n(x1) x0 + n(x3) n(x2) x1 x0 + x3 x2 x1 + x3 n(x2) n(x1) + x3 x1 n(x0)

y0	x1 x0
x3 x2	00	01	11	10
0 0	1 a	0	0	1 d
0 1	1 ab	1 c	1 c	0
1 1	1 b	0	1 e	1 e
1 0	0	1 f	0	1 d

y0 = n(x3) n(x1) n(x0)---+ x2 n(x1) n(x0) + n(x3) x2 x0 + n(x2) x1 n(x0) + x3 x2 x1 + x3 n(x2) n(x1) x0

Esercizio 4

Si minimizzino algebricamente le funzioni booleane:

• y0 = x0(n(x1)---+ x0(x2 n(x1) + n(x3 x2 x1)x0))
• y1 = x3(x2 x0 n(x1)---+ x0 n(x2 + x1)) + n(x3) n(n(x0)+x1)

NOTA: n() corrisponde alla negazione.

Soluzione

y0 = x0(n(x1)---+ x0(x2 n(x1) + n(x3) x0 + n(x2) x0 + n(x1) x0) ) =
= x0(n(x1)---+ x0 x2 n(x1) + n(x3) x0 + n(x2) x0 + n(x1) x0 ) =
= x0 n(x1)---+ x0 x2 n(x1) + n(x3) x0 + n(x2) x0 + n(x1) x0 =
= n(x3) x0---+ n(x2) x0 + n(x1) x0

y1 = x3(x2 x0 n(x1)---+ x0 n(x2) n(x1)) + n(x3) x0 n(x1) =
= x3 x0 n(x1)---+ n(x3) x0 n(x1) =
= x0 n(x1)

-- AndreaSterbini - 24 Dec 2000

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