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DIARIO DELLE LEZIONI

Lunedý 3 ottobre (Lezione 1) - Informazioni sul corso (testi, modalitÓ di esame, ricevimento) Presentazione del programma. Concetti fondamentali: insiemi, prodotto cartesiano, relazioni tra insiemi, relazione duale di una relazione data, relazioni su un insieme.

Mercoledý 5 ottobre (Lezione 2) - Insiemi parzialmente ordinati, esempi: l'insieme delle parti di un insieme, i numeri naturali ordinati dalla divisibilitÓ, le n-ple di numeri reali.Ogni insieme pu˛ essere totalmente ordinato (senza dimostrazione). Esercizi, Le proprietÓ che definiscono una relazione d'ordine sono indipendenti. Diagrammi di Hasse, esempi. Reticoli

Venerdý 7 ottobre (Lezione 3) - Relazioni di equivalenza, le proprietÓ che definiscono le relazioni di equivalenza sono indipendenti. Esempi: la relazione di congruenza modulo n>1. Partizioni, classi di equivalenza e insieme quoziente.

Lunedý 10 ottobre (Lezione 4) - Biezione naturale tra l'insieme delle partizioni di un insieme E e l'insieme delle relazioni di equivalenza su E. Il reticolo delle partizioni di un insieme. Funzioni come relazioni, esempi.

Mercoledý 12 ottobre (Lezione 5) Insiemi di funzioni e loro cardinalitÓ.Operazioni su un insieme e strutture algebriche. Monoidi, esempi. Composizione di funzioni. Il monoide delle endofunzioni. Proiezione sul quoziente e sezioni, assioma della scelta. Relazione di equivalenza individuata da una funzione, nucleo di una funzione.

Venerdý 14 ottobre (Lezione 6) - Funzioni iniettive, suriettive biunivoche, inversa destra e inversa sinistra di una funzione.Teorema di omomorfismo per gli insiemi. Morfismi (funzioni monotone) e isomorfismi di insiemi parzialmente ordinati,esempi.

Lunedý 17 ottobre (Lezione 7) - Operazioni di inf e sup in un reticolo, loro proprietÓ: idempotenza (L1), commutativa(L2), associativa (L3), distributiva (L4). assorbimento (L5). Le proprietÓ L1,L2,L3,L4 caratterizzano i reticoli come strutture algebriche.Principio di dualitÓ. Disuguaglianze modulari. Reticoli distributivi. Il reticolo M5. Morfismi di reticoli: un'applicazione che conserva inf e sup Ŕ un morfismo di reticoli. Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Il reticolo delle parti di un insieme E Ŕ isomorfo al reticolo delle funzioni da E in {0,1}. Esercizi e complementi: Reticoli

Mercoledý 19 ottobre (Lezione 8) - Definizione assiomatica dei numeri naturali secondo Peano. Principio di induzione. Definizione ricorsiva di successioni, definizione delle iterazioni di una endofunzione e delle iterazioni di una operazione in un monoide. ProprietÓ della funzione successore. Il monoide ( N ,+) e legge di cancellazione. Il monoide ( N -{0}, .) e legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su N - Principio del buon ordinamento.

Venerdi 21 ottobre (Lezione 9) - Esercizi: dimostrazione delle proprietÓ della somma in N (elemento neutro, associativa, commutativa. regola di cancellazione). Osservazioni sul principio di induzione.

Lunedi 24 ottobre (Lezione 10) - Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi. formula di Pascal. Dimostrazioni biettive. Dimostrazione Biiettiva del teorema binomiale. Polinomi a coefficienti in un campo: variabili e indeterminate. (Riguardo ai coefficienti binomiali si possono consultare le dispense del corso di Combinatoria di K÷rner e Malvenuto, pag. 25 e seguenti).

Mercoledý 26 ottobre (Lezione 11) Il principio di inclusione -esclusione: dimostrazione combinatoria, applicazioni:Calcolo della cardinalitÓ dell'insieme delle funzioni suriettive. Calcolo dei numeri di Stirling di II specie. Coefficienti multinomiali e scomposizioni di un insieme finito. Teorema multinomiale. Anagrammi e scomposizioni di un insieme, esempi.

Venerdý 28 ottobre (Lezione 12) - Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una delle sequenze assegnate. Il numero degli anagrammi come numero di classi di equivalenza dell'insieme delle permutazioni su n , esempio. Potenze in un monoide e proprietÓ, morfismi di monoidi, esempi. Teorema: Dato un monoide M e un elemento a di M esiste un solo morfismo di monoidi f dal monoide ( N ,+) nel monoide dato, tale che f (a) = 1. Studiare Esercizi e complementi :Principio di inclusione -esclusione

Lunedý 31 ottobre - Vacanza accademica

Mercoledý 2 novembre (Lezione 13) Strutture algebriche: semigruppi, monoidi, gruppi. Sottostrutture: sottomonoidi e sottogruppi, esempi. Definizione di congruenza rispetto ad una operazione, la relazione di equivalenza individuata da un morfismo Ŕ una congruenza. La congruenza su N x N* il cui quoziente Ŕ isomorfo al monoide (Z,+). L'anello degli interi, teorema di divisione e dimostrazione mediante il principio del buon ordinamento. Anelli. Anelli unitari, commutativi. Divisori dello zero: esempio di un anello con divisori dello zero. Studiare: I numeri naturali e il teorema di divisione in Z

Venerdý 4 novembre (Lezione 14) Morfismi di strutture algebriche, di monoidi, di gruppi. L'immagine di un morfismo Ŕ una sottostruttura del codominio, la relazione in individuata da un morfismo Ŕ una congruenza Teoremi di omomorfismo per gli insiemi, i monoidi, i gruppi.

Lunedý 7 novembre (Lezione 15) - Esempi di morfismi. ProprietÓ dei morfismi di gruppi: Il nucleo Ker f di un morfismo f Ŕ un sottogruppo del dominio G, la classe di equivalenza [ a ], costituita dagli elementi di G che hanno la stessa immagine di a , Ŕ uguale all'insieme a Ker f. e si ha |Ker f |= |[_a_]|. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due interi non entrambi nulli: esistenza ed unicitÓ del minimo comune multiplo, esistenza ed unicitÓ del massimo comun divisore, identitÓ di BÚzout. Ripassare e svolgere gli esercizi della Scheda 1. Concetti fondamentali

Mercoledi 9 novembre (Lezione 16)* - Algoritmo euclideo delle divisioni successive per il calcolo del massimo comun divisore e di una identitÓ di BÚzout. Campi, esempi. Un campo Ŕ privo di divisori dello zero. L'anello ( Z / n *Z,+, .) Ŕ un campo se e solo se n Ŕ un numero primo. Tavole di composizione.

Venerdý 11 novembre (Lezione 17) - l'insieme S( a ,b) = { m>0 : m = ax+by , x,y interi} Ŕ costituito da tutti i multipli del MCD( a,b ). Proposizione fondamentale: Ogni intero a Ŕ invertibile in ( Z / nZ,+, .) se e solo se MCD ( a, n ) = 1 Corollario : L'anello delle classi resto modulo n Ŕ un campo se e solo se n Ŕ primo. . Il gruppo U(Z/nZ) degli elementi invertibili e funzione di Eulero. Enunciato del teorema di Fermat e sua applicazione.

Lunedý 14 novembre (Lezione 18) - Dimostrazione del teorema di Fermat. Equazioni diofantee: condizione necessaria e sufficiente affinchŔ una equazione diofantea sia compatibile, calcolo dell'insieme delle soluzioni. Esempi ed Esercizi. Ripasso: Scheda 2 : Funzioni

Mercoledý 16 (Lezione 19) - Equazioni di primo grado nell'anello delle classi resto modulo n e loro significato in Z. Equazioni di primo grado in Z / n Z: condizione necessaria e sufficiente affinchÚ un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni (un'equazione in Z / n Z del tipo [a]x = [b] Ŕ compatibile se e solo se MCD( a,n)| b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d ; la soluzione [s] modulo n/d di ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d)). Esempi.

Venerdý 18 novembre (Lezione 20) Sottogruppi di un gruppo. Condizione necessaria e sufficiente affinchÚ un sottoinsieme non vuoto sia un sottogruppo. L'intersezione di sottogruppi Ŕ un sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. Sottogruppi del gruppo degli interi e del gruppo delle classi resto modulo n : i sottogruppi di (Z / n Z ,+) sono tutti del tipo k Z / n Z dove k Ŕ un divisore di n e hanno h = n /k elementi Il reticolo. Esempi. Risolvere gli esercizi della Scheda 3: Strutture algebriche

Lunedý 21 novembre (Lezione 21) - Dato un gruppo G e un elemento a di G, esistenza di un unico morfismo f da (Z ,+) in G tale che f (1) =_a_ . Gruppi ciclici, i gruppi ciclici di ordine infinito sono isomorfi a ( Z ,+), ogni gruppo ciclico di ordine n Ŕ isomorfo a (Z / n Z ,+) delle classi resto modulo n , dunque sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.

Mercoledý 23 novembre (Lezione 22) - Esercitazione

Venerdý 25 novembre (Lezione 23) - Nell'anello (Z / n Z ,+, .) un elemento Ŕ un divisore dello zero se e solo se non Ŕ invertibile. Polinomi, grado di un polinomio, anello K [x] dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti nel campo K . Gli unici elementi invertibili di K [x] sono le costanti non nulle. L'anello K [x] non ha divisori dello zero. Teorema di divisione (senza dimostrazione). Radici di un polinomio, teorema della radice, due polinomi a coefficienti reali sono uguali se e solo se coincidono le rispettive funzioni polinomiali, esempi ed esercizi.

- Lunedý 28 novembre - PROVA INTERMEDIA

Mercoledý 30 novembre (Lezione 24) - Matrici, prodotto righe per colonne e proprietÓ. L'anello delle matrici quadrate a coefficienti nel campo K, divisori dello zero. Il gruppo generale lineare GL(n, K). Matrici e sistemi lineari. Sottoanelli di un anello, condizione necessaria e sufficiente affinchÚ un sottoinsieme sia un sottoanello, esempi. Il reticolo dei sottoanelli di un anello. Teorema di omomorfismo per gli anelli.

Venerdý 2 dicembre (Lezione 25) -Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Esempi: lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto, lo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo K , lo spazio dei polinomi K [x], lo spazio vettoriale delle matrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale, esempi. CNES affinchÚ un sottoinsieme sia un sottospazio. L'intersezione di sottospazi Ŕ un sottospazio, spazio generato da un sottoinsieme. Combinazioni lineari. Lo spazio generato da un sottoinsieme S coincide con l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di S. Il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali: Prime proprietÓ.

Lunedý 5 dicembre (Lezione 26) Somma di due sottospazi, la somma coincide con lo spazio generato dall'unione dei due sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare, esempi. Caratterizzazione degli insiemi dipendenti: un insieme S Ŕ dipendente se esiste una combinazione lineare non banale di vettori di S uguale al vettore nullo. Caratterizzazione degli insiemi indipendenti: un insieme S Ŕ indipendente se l'unica combinazione lineare di vettori di S uguale al vettore nullo Ŕ quella banale. Se S Ŕ un insieme indipendente allora un vettore v non in S appartiene allo spazio generato da S se e solo se l'insieme costituito da v e dai vettori di S Ŕ dipendente, la dipendenza lineare dipende dal campo sul quale lo spazio Ŕ costruito, esempio. Basi di uno spazio vettoriale, teorema: Ogni spazio vettoriale ammette una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalitÓ (senza dimostrazione).Dimensione, esempi. Caratterizzazioni delle basi: un insieme Ŕ una base se e solo se Ŕ un insieme di generatori minimale, un insieme Ŕ una base se e solo se Ŕ un insieme indipendente massimale, un insieme B Ŕ una base se e solo se ogni vettore dello spazio pu˛ esprimersi in modo unico come combinazione lineare di vettori di B. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Studiare e svolgere gli esercizi: 2.Insiemi dipendenti e indipendenti, basi.

Mercoledi 7 dicembre (Lezione 27) Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t , Ŕ possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V".Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi (n<t) Ŕ possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V. Esempi. Corollari: Un insieme con (n+1) vettori Ŕ sempre dipendente, ogni insieme indipendente con n elementi Ŕ una base, ogni sistema di generatori dello spazio con n vettori Ŕ una base Applicazioni lineari: una applicazione L dallo spazio vettoriale V allo spazio vettoriale V' Ŕ lineare se e solo se per ogni a e b scalari e per ogni v, w in V si ha L( a v+ b w)= a L(v)+ b L(w). Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Esempi.Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali. Isomorfismi. Teorema: ogni spazio vettoriale V sul campo K ha dimensione n se e solo se Ŕ isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi del campo K.Esempi.

Venerdý 9 dicembre (Lezione 28) Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine di una applicazione. Esempi. Analogia tra cardinalitÓ di un insieme e dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann. Complementi ed esercizi 3.Applicazioni lineari

Lunedý 12 dicembre (Lezione 29) L'applicazione lineare L(A) definita sullo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di K individuata dalla matrice A di m righe e n colonne. L'immagine di L(A) Ŕ generata dalle colonne di A e il nucleo di L(A) Ŕ costituito dalle soluzioni del sistema AX = 0.Esempi.Data una matrice A la dimensione dello spazio generato dalle righe di A si dice rango per righe di A, la dimensione dello spazio generato dalle colonne si dice rango per colonne di A, (dunque il rango per colonne Ŕ la dimensione dell'immagine di L(A)). Condizione di compatibilitÓ di un sistema lineare AX = B. Matrici a scala per righe, pivot, le righe non zero di una matrice a scala per righe S costituisce un insieme indipendente (dunque rr(S) Ŕ il numero delle righe non nulle). Risoluzione di un sistema lineare a scala SX = B: variabili libere e legate, il sistema a scala Ŕ compatibile se e solo se il rango per righe di S Ŕ uguale al rango per righe della matrice completa S|B, l'insieme delle soluzioni Ŕ in corrispondenza biunivoca con le (n-t)-ple di elementi di K , essendo n il numero delle incognite e t il rango per righe di S. Il rango per righe e il rango per colonne di una matrice a scala sono uguali.

Mercoledý 14 dicembre (Lezione 30) Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe. Calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi.Risoluzione di un sistema lineare AX = B con il metodo di Gauss. Il rango per righe di una matrice Ŕ uguale al suo rango per colonne. Teorema di RouchÚ-Capelli: Un sistema lineare AX = B Ŕ compatibile se e solo se la matrice dei coefficienti A e la matrice completa A|B hanno lo stesso rango. L'insieme delle soluzioni Ŕ in corrispondenza biunivoca con le (n-r(A))-ple di elementi di K e data una soluzione particolare Y (AY =B) ogni altra soluzione si pu˛ esprimere come (Y + H) dove H Ŕ una soluzione del sistema omogeneo associato AX = 0. Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Ismorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari da V in V' e lo spazio vettoriale delle matrici di mrighe e n colonne Complementi ed esercizi: 4.Applicazioni lineari e matrici

Venerdý 16 dicembre (Lezione 31) Esercizi su applicazioni lineari e matrici. Matrici invertibili: le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) A Ŕ una matrice nxn invertibile. b) Il sistema AX = 0 ammette una sola soluzione. c) L'endomorfismo L(A) definito da L(A)(X) = AX Ŕ un isomorfismo. d) Il rango di A Ŕ n. e) Il sistema AX=B ammette una sola soluzione per ogni n-pla B. Definizione di determinante come funzione det che ad ogni matrice quadrata associa un numero reale in modo che det(A') = -det(A) se A' Ŕ ottenuta da A scambiando 2 righe; det(A') = k det(A) se A' Ŕ ottenuta da A moltiplicando una riga per lo scalare k; det(A') = det(A) se A' Ŕ ottenuta da A sostituendo alla riga i-esima la stessa riga sommata ad un'altra moltiplicata per uno scalare; det(I) = 1. Esistenza di una unica funzione determinante (senza dimostrazione) Minori e complementi algebrici. Regola di Laplace per il calcolo del determinante (senza dimostrazione). ProprietÓ del determinante. Determinante di una matrice a scala. Il determinante di una matrice A Ŕ diverso da zero se e solo se rango di A Ŕ massimo. Scheda 4-Sistemi lineari e rango di una matrice

Lunedý 19 dicembre (Lezione 32) Una matrice quadrata A non Ŕ invertibile se e solo se det A = 0, Teorema di Binet (senza dimostrazione): det (AB) = det(A) det(B). Determinante della matrice inversa., calcolo della matrice inversa sia risolvendo sistemi lineari sia con la matrice aggiunta. Matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari. Cambiamenti di base di uno spazio vettoriale.

Mercoledý 21 dicembre (Lezione 33) Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Esempi. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicitÓ geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V Ŕ diagonalizzabile se e solo se Ŕ possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicitÓ geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V Ŕ diagonalizzabile se e solo se Ŕ possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicitÓ geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V Ŕ diagonalizzabile se e solo se Ŕ possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Un endomorfismo su di uno spazio vettoriale di dimensione n (una matrice di ordine n) Ŕ diagonalizzabile se e solo se per ogni autovolare la molteplicitÓ algebrica coincide con quella geometrica e la somma delle molteplicitÓ Ŕ uguale ad n. Complementi ed esercizi: 5.Diagonalizzazione:

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