DiarioLezioni < Algebra/MZ/AA1415

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-- Users.AntoniettaVenezia - 

---+++<font color="#AF0F0F"><b><Big>DIARIO DELLE LEZIONI</Big></b></font> 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì  settembre 29 (Lezione 1)</b></font>  - Introduzione al corso. Concetti fondamentali: prodotto cartesiano, relazioni, funzioni come relazioni. Immagine di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Composizione di funzioni, esempi. Strutture algebriche.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 1 ottobre (Lezione 2)</b></font>  - Classificazione di strutture algebriche. Definizioni di monoide, gruppo, anello, campo, esempi. Spazi vettoriali sui reali, lo spazio dei vettori geometrici applicati in un punto. Sistemi lineari, risolvere un sistema lineare in _n_ incognite significa determinare l'insieme delle n-ple che soddisfano tutte le equazioni del sistema. Risolvere gli esercizi della [[%ATTACHURL%/Scheda_1-.pdf][Scheda 1]]. 


<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 3 ottobre (Lezione 3)</b></font> - Relazioni su un insieme, relazione duale, esempi. Relazioni d'ordine, insiemi parzialmente ordinati, intervalli, esempi. L'insieme dei numeri naturali non nulli  *N* ordinato dalla divisibilità. Diagrammi di Hasse, esempi. Definizione di reticolo: il reticolo dei sottoinsiemi di un insieme e l'insieme dei naturali ordinato dalla divisibilità. Operazioni di inf e sup in un reticolo, loro proprietà: idempotenza (L1), commutativa(L2), associativa (L3), distributiva (L4). assorbimento (L5).

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 6 ottobre (Lezione 4)</b></font> - Ulteriori proprietà dei reticoli: le operazioni sono isotone, principio di dualità. Disuguaglianze distributive e modulari. Reticoli distributivi. Le proprietà L1,L2,L3,L4 caratterizzano i reticoli come strutture algebriche. Relazioni di equivalenza, esempi. 
(cfr. [[%ATTACHURL%/Reticoli.pdf][Reticoli]])

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 8 ottobre (Lezione 5)</b></font> Esempi di relazioni di equivalenza: la relazione di equipotenza tra insiemi, la relazione di congruenza modulo n sull'insieme degli interi, gli interi come quoziente di *N* x *N*. Proprietà delle relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e insieme quoziente. Biiezione tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle relazioni di equivalenza, esempi. 

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 10 ottobre (Lezione 6)</b></font> - Morfismi e isomorfismi di insiemi parzialmente ordinati e di reticoli.  Il reticolo delle partizioni di un insieme. Proiezione sul quoziente, sezioni, assioma della scelta, esempi. Inversa destra e inversa sinistra di una applicazione. Una sezione è un'inversa destra della proiezione. Teorema di omomorfismo per gli insiemi. Teorema di decomposizione delle applicazioni: ogni funzione può essere espressa come composizione di una applicazione iniettiva con una suriettiva. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 13 ottobre (Lezione 7)</b></font> - Funzioni monotone, morfismi di reticoli, esempi. Insiemi parzialmente ordinati prodotto. Funzione caratteristica di un sottoinsieme.  Il reticolo dell'insieme delle parti di un insieme A è isomorfo al reticolo delle funzioni su A a valori 0 o 1. Composizioni di morfismi. 
Definizione assiomatica dei numeri naturali  [[http://www.webfract.it/FRATTALI/vitaPeano.htm#se][Peano]]. Principio di induzione.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 15 ottobre (Lezione 8)</b></font> - Definizione ricorsiva di successioni, definizione delle iterazioni di una endofunzione e delle iterazioni di una operazione in un monoide. Proprietà della funzione successore. Il monoide ( *N* ,+) e legge di cancellazione. Il monoide ( *N* -{0}, . ) e  legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su *N* - Morfismi di strutture algebriche e morfismi di monoidi, esempi. Principio del buon ordinamento.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 16 ottobre (Lezione 9)</b></font> - Principio di uguaglianza, regole della somma e del prodotto. Cardinalità dell'insieme delle funzioni da un insieme finito A in un insieme finito R, cardinalità dell'insieme delle funzioni iniettive e fattoriale decrescente. Dimostrazioni biiettive, esempi. Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con _k_ elementi di un insieme con _n_ elementi: formula di Pascal e relazione con il fattoriale decrescente. 


<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 20 ottobre (Lezione 10), 3 ore </b></font> - Dimostrazione biiettiva del Teorema binomiale. Coefficienti multinomiali e scomposizioni di un insieme finito. Teorema multinomiale. Rappresentazione di una funzione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Principio dei cassetti: esempi. 
(Riguardo ai coefficienti binomiali si possono consultare le 
[[http://www.dsi.uniroma1.it/~md1c/md1c.pdf][dispense del corso di Combinatoria]]  di Körner e Malvenuto, pag 25 e seguenti). 

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 22 ottobre (Lezione 11) 3 ore </b></font> - Principio di inclusione-esclusione, dimostrazione. Applicazione al calcolo della cardinalità dell'insieme delle funzioni suriettive. Anagrammi e scomposizioni di un insieme, anagrammi e relativa relazione di equivalenza. Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una fra sequenze assegnate. Numeri di Stirling di II specie e fattoriale decrescente, calcolo dei numeri di Stirling di II specie. Esempi ed esercizi.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 24 ottobre (Lezione 12)</b></font> - Potenze in un monoide, morfismi di monoidi e teorema di omomorfismo per i monoidi, esempi. Teorema: Dato un monoide M e un elemento _a_  di M esiste un solo morfismo di monoidi  _f_ tale che  _f_ (_a_) = 1. Definizione di congruenza rispetto ad una operazione, la relazione di equivalenza individuata da un morfismo è una congruenza.  Gruppi, sottogruppi. Morfismo di gruppi e proprietà,  sottogruppo Im _f_ e nucleo Ker _f_ . Teorema di omomorfismo per i gruppi.

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 27 ottobre (Lezione 13)</b></font> - Recupero della lezione di Probabilità.
  
<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 29 ottobre (Lezione 14)</b></font> - Inverso di un prodotto in un gruppo. Un morfismo f di gruppi individua il nucleo (Ker f, sottogruppo del dominio),  e l'immagine (Im f, sottogruppo del codominio). Teorema di omomorfismo per i gruppi: Dato un morfismo f  dal gruppo G nel gruppo G' il gruppo G/Ker f è isomorfo al sottogruppo Im f. Classi laterali e classi di equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza individuata da un morfismo: [a] = a Ker f = Ker f a. Esempi. Un morfismo è un momomorfismo se e solo se  Ker f è costituito solo dall'unità. Un morfismo è un epimorfismo se e solo se Im f coincide con il codominio.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 31 ottobre (Lezione 15)</b></font> -Le classi di equivalenza individuate da un morfismo di gruppi f sono in corrispondenza biunivoca con il Ker f. Classi laterali (destre e sinistre) e relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo. Ordine di un gruppo. Teorema di Lagrange: Sia  G un gruppo finito ed S un suo sottogruppo, allora l'ordine di S divide l'ordine di G. 
Sottogruppi normali e loro caratterizzazione, un sottogruppo  è normale se e solo se la relazione di equivalenza da esso individuata è una congruenza.
I nuclei dei morfismi sono sottogruppi normali. Il gruppo simmetrico: rappresentazione di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti e rappresentazione standard. Ogni permutazione è il prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e permutazioni dispari. Il gruppo alterno e la sua cardinalità, il gruppo alterno è un sottogruppo normale. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 3 novembre (Lezione 16)</b></font> Ordine di una permutazione, legame tra ordine e parità, esempi ed esercizi sul gruppo simmetrico. Strutture algebriche con due operazioni: anelli. Anelli unitari, commutativi. Divisori dello zero: esempio di un anello con divisori dello zero. Anello degli interi: dimostrazione tramite il principio del buon ordinamento del teorema di divisione. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due interi non entrambi nulli. esistenza del minimo comune multiplo.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 5 novembre (Lezione 17)</b></font> -Esistenza ed  unicità del massimo comun divisore di due interi non entrambi nulli. Identità di Bézout. Algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore e di una identità di Bézout. Esempi. L'anello ( *Z* / _n_ *Z*,+, .) delle classi resto modulo n, una classse [ _a_ ] in tale anello è invertibile se e solo se MCD(_a,n_)=1, il gruppo U( *Z* / _n_ *Z*) degli elementi invertibili. Campi, un campo è privo di divisori dello zero. L'anello ( *Z* / _n_ *Z*,+, .) è un campo se e solo se n è un numero primo. Risolvere gli esercizi della [[%ATTACHURL%/Scheda_2-.pdf][Scheda 2]].

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdi 7  novembre (Lezione 18)</b></font>. Proprietà dei numeri primi: se un numero primo _p_ divide il prodotto _ab_ allora  _p_ divide _a_ oppure  _p_ divide _b_; ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o è prodotto di numeri primi; teorema fondamentale dell'aritmetica (ogni numero naturale ha una unica scomposizione in fattori primi);i numeri primi sono infinti. Definizione e calcolo della funzione di Eulero, ordine del gruppo U(*Z* / _n_ *Z*).Teorema di Fermat (dimostrazione diretta e come corollario del teorema di Lagrange). Piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Equazioni di primo grado nell'anello delle classi resto modulo _n_ e loro significato in *Z*.

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 10 novembre (Lezione 19)</b></font> Dati due interi positivi _a_ e _b_ , l'insieme S(_a,b_) dei naturali positivi _m_ = _ax_ + _by_ è uguale all'insieme de multipli del MCD(_a,b_). Equazioni di primo grado in *Z* / _n_ *Z*: condizione necessaria e sufficiente affinchè un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni (un'equazione in *Z* / _n_ *Z*  del tipo [a]x = [b] è compatibile se e solo se MCD( _a,n_)| _b_ e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo _n/d_ ; la soluzione [s] modulo _n/d_ di ripartisce in _d_ classi modulo _n_ rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d)).

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledi 12 novembre (Lezione 20)</b></font>  Esercizi sulle equazioni di primo grado in *Z* / _n_ *Z*. Equazioni diofantee: compatibilità e calcolo delle soluzioni, esempi. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. I sottogruppi del gruppo degli ( *Z* ,+) sono tutti del tipo m *Z* .

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 14 novembre (Lezione 21)</b></font> I sottogruppi di (*Z* / _n_ *Z* ,+) sono tutti del tipo k *Z* / _n_ *Z* dove k è un divisore di _n_. Il reticolo dei sottogruppi degli interi modulo 6 e modulo 12. Gruppi ciclici:  i gruppi ciclici di ordine infinito sono isomorfi a ( *Z* ,+), ogni gruppo ciclico di ordine  _n_  è isomorfo a  (*Z* / _n_ *Z* ,+) delle classi resto modulo n. I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 17 novembre (Lezione 22) </b></font> Strutture algebriche con 2 operazioni: anelli. Anelli commutativi, anelli unitari e domini di integrità.Morfismi di anelli, sottoanelli, ideali. Teorema di omomorfismo per gli anelli, il nucleo di un morfismo di anelli è un ideale. Campi. L'anello dei polinomi ad una indeterminata  *K* [x], gli unici polinomi invertibili sono i quelli di grado zero, *K* [x] non ha divisori dello zero, teorema di divisione(senza dimostrazione). Radici di un polinomio, teorema della radice, due polinomi a coefficienti reali sono uguali se e solo se coincidono le rispettive funzioni polinomiali. Prodotto righe per colonne tra matrici. Matrici e sistemi lineari. L'anello delle matrici quadrate a coefficienti in un campo  *K*. 
 
Risolvere gli esercizi della [[%ATTACHURL%/Scheda_3-_nov._2014.pdf][scheda 3]]

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 19 novembre </b></font> Prova intermedia.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 21 novembre (Lezione 23)</b></font> Definizione di spazio vettoriale su un campo *K*. Esempi: lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto, lo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di un campo *K* , lo spazio dei polinomi *K* [x], lo spazio vettoriale delle matrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale, esempi. CNES affinché un sottoinsieme sia un sottospazio.  L'intersezione di sottospazi è un sottospazio, spazio generato da un sottoinsieme. Combinazioni lineari. Lo spazio generato da un sottoinsieme S coincide con l'insieme delle combinazioni lineari di vettori di S. Il reticolo dei sottospazi di uno spazio vettoriale. Somma di due sottospazi, la somma coincide con lo spazio generato dall'unione dei due sottospazi, somme dirette: la somma di due sottospazi (U+W) è diretta se e solo se ogni vettore della somma si esprime in un solo modo come somma di un vettore di U e di un vettore di W. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 24 novembre (Lezione 24)</b></font>  Sottospazi supplementari, esempi, lo spazio vettoriale delle matrici quadrate è somma diretta del sottospazio delle matrici simmetriche e d quello delle matrici antisimmetriche. Spazi vettoriali finitamente generati, esempi. Dipendenza e indipedenza lineare, esempi. Caratterizzazione degli insiemi dipendenti: un insieme S è dipendente se esiste una combinazione lineare non banale di vettori di S uguale al vettore nullo. Caratterizzazione degli insiemi indipendenti: un insieme S è indipendente se l'unica combinazione lineare di vettori di S uguale al vettore nullo è quella banale. Se S è un insieme indipendente allora un vettore v non in S appartiene allo spazio generato da S se e solo se l'insieme costituito da v e dai vettori di S è dipendente, esempi.

Studiare e risolvere gli esercizi :[[%ATTACHURL%/1.Spazi_vettoriali,_prime_proprieta.pdf][Complementi ed esercizi: Spazi Vettoriali, prime proprietà]]

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledi 26 novembre (Lezione 25)</b></font>  Basi di uno spazio vettoriale. Teorema: Ogni spazio vettoriale ammette una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione).Dimensione, esempi. Un insieme è una  base se e solo se è un insieme di generatori minimale, un insieme è una base se e solo se è un insieme indipendente massimale. Un insieme B è una base se e solo se ogni vettore dello spazio può esprimersi in modo unico come combinazione lineare di vettori di B, coordinate di un vettore rispetto ad una base. Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t , è possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi (n<t) è possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V. Esempi. Corollari: Un insieme con (n+1) vettori è sempre dipendente, ogni insieme indipendente con n elementi è una base, ogni sistema di generatori dello spazio con n vettori è una base

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 28 novembre (Lezione 26)</b></font> Applicazioni lineari: una applicazione L  dallo spazio vettoriale V  allo spazio vettoriale V' è lineare se e solo se per ogni _a_  e _b_ scalari e per ogni v, w in V si ha L( _a_ v+ _b_ w)= _a_ L(v)+ _b_ L(w). Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Esempi.Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali. una applicazione lineare è definita dai valori che assume sui vettori di una base. Proprietà delle applicazioni lineari: l'immagine di un sottospazio di V è un sottospazio di V'; la controimagine di un sottospazio di V' è un sottospazio di V, l'immagine di un sottoinsieme dipendente è dipendente.Una applicazione lineare è iniettiva se e solo se l'immagine di un sottoinsieme indipendente di V e un insieme indipendente di V'. 

Studiare e risolvere gli esercizi: [[%ATTACHURL%/2.Insiemi_dipendenti_e_indipendenti,_basi.pdf][Complementi ed esercizi: Dipendenza e indipendenza lineare, basi]]

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 1 dicembre (Lezione 27)</b></font> Isomorfismi. Teorema: ogni spazio vettoriale V sul campo *K*  ha dimensione n se e solo se è isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi del campo *K*. Esempi. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine di una applicazione lineare. Analogia tra cardinalità e dimensione. Formula di Grassmann. 

Studiare e risolvere gli esercizi: [[%ATTACHURL%/3.Applicazioni_lineari.pdf][Complementi ed esercizi: Applicazioni lineari]]

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledi 3 dicembre (Lezione 28)</b></font>  Data una matrice A la dimensione dello spazio generato dalle righe di A si dice rango per riga di A, la dimensione dello spazio generato dalle colonne si dice rango per colonne di A. L'applicazione lineare L(A) definita sullo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di elementi di  _K_ individuata dalla matrice A di m righe e n colonne. L'immagine di L(A) è generata dalle colonne di A (dunque il rango per colonne è la dimensione dell'immagine di L(A)) e il nucleo di L(A) è costituito dalle soluzioni del sistema AX = 0.   Applicazioni lineari e matrici: matrice associata ad un'applicazione lineare L definita su uno spazio vettoriale V a valori in uno spazio vettoriale V', rispetto ad una base B di V e ad una base B' di V'. Esempi. Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e m = dim V'. Matrici a scala per righe, pivot, le righe non zero di una matrice a scala per righe costituisce un insieme indipendente, dunque il rango per righe di una matrice a scala è il numero delle righe non zero.  Risoluzione di un sistema lineare a scala SX = B: variabili libere e legate, il sistema è compatibile se e solo se il rango per righe di S è uguale al rango per righe della matrice completa S|B, l'insieme delle soluzioni è in corrispondenza biunivoca con le (n-t)-ple di elementi di _K_ , essendo n il numero delle incognite e t il rango per righe di S. Il rango per righe e quello per colonne di una matrice a scala sono uguali.

Studiare e risolvere gli esercizi:[[%ATTACHURL%/4.Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf][Complementi ed esercizi: Applicazioni lineari e matrici ]]

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 5 dicembre (Lezione 29)</b></font> Spazio generato dalle righe e spazio generato dalle colonne di una matrice, rango per righe e rango per colonne di una matrice. Applicazione lineare L(A) individuata dalla matrice A di m righe e n colonne. Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe, matrici elementari, il prodotto EA di una matrice elementare E per una matrice A è uguale alla matrice ottenuta da A applicando l'operazione elementare che dalla matrice identità I porta ad E, calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Risoluzione di un sistema lineare AX = B con il metodo di Gauss. Il rango per righe di una matrice è uguale al suo rango per colonne. Teorema di Rouché-Capelli. Esempi.

Risolvere gli esercizi della [[%ATTACHURL%/Scheda_4-_dic._2014.pdf][scheda 4]]

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 10 dicembre (Lezione 30)</b></font> Matrici invertibili: le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) A è una matrice nxn invertibile. b) Il sistema AX = 0 ammette una sola soluzione. c) L'endomorfismo  L(A) definito da L(A)(X) = AX  è un isomorfismo.  d) Il rango di A è n. e) Il sistema AX=B ammette una sola soluzione per ogni n-pla B. Calcolo dell'inversa: la i-esima colonna dell'inversa di A è l'unica soluzione del sistema AX = (i-esima colonna di I). Definizione di determinante come funzione det che ad ogni matrice quadrata associa un numero reale in modo che det(A') = -det(A), se A' è ottenuta da A scambiando 2 righe; det(A') = det(A), se A' è ottenuta da A moltiplicando una riga per lo scalare k; det(A') = det(A), se A' è ottenuta da A sostituendo alla riga i-esima la stessa riga sommata ad un'altra moltiplicata per uno scalare; det(I) = 1. Esistenza di una unica funzione determinante (senza dimostrazione) Minori e complementi algebrici. Regola di Laplace per il calcolo del determinante (senza dimostrazione) e determinante della matrice trasposta. Proprietà del determinante. Il determinante di una matrice A è diverso da zero se e solo se rango di A è massimo. Teorema di Binet (senza dimostrazione): det (AB) = det(A) det(B). Determinante della matrice inversa. Matrice aggiunta e calcolo della matrice inversa tramite la matrice aggiunta. Teorema di Cramer (senza dimostrazione).


<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 12 dicembre (Lezione 31)</b></font> Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari.  Cambiamenti di base di uno spazio vettoriale. Esempi. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi: autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e molteplicità algebrica di un autovalore. Il polinomio caratteristico è un invariante dell'endomorfismo.

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 15 dicembre (Lezione 32)</b></font> Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. La molteplicità geometrica di un autovalore è sempre minore o uguale alla sua molteplicità algebrica. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) L'endomorfismo L di V è diagonalizzabile. b) Esiste una base formata da autovettori di L. c) V è somma diretta di autospazi. d) Ogni autovalore ha molteplicità albebrica uguale a quella geometrica e la somma delle molteplicità di tutti gli autovalori è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale V. Esempi ed esercizi.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 17 dicembre (Lezione 33)</b></font> Esercizi. Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici. Esempi di problemi che possono essere risoti applicando l'algoritmo di Gauss. Daterminare i sup e l'inf di due sottospazi.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 19 dicembre (Lezione 34)</b></font> Esercizi. Base dello spazio Hom(V,V'). Dati due sottospazi U e W determinare se possibile una applicazione lineare i cui nucleo sia U e la cui immagine sia W.

[[%ATTACHURL%/5.Diagonalizzazione.pdf][Complementi ed esercizi: Diagonalizzazione]]


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Diario delle lezioni Algebra M-Z, prof. Antonietta Venezia, a.a. 2013-2014 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 30 settembre (Lezione 1)</b></font>  - : tavole di composizione,  

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 2 ottobre (Lezione 2)</b></font>  - .  L'insieme parzialmente ordinato delle partizioni di un insieme, esempi, nucleo di una funzione. 

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 4 ottobre (Lezione 3)</b></font>  - . . Relazione di equivalenza individuata da una funzione. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 7 ottobre (Lezione 4)</b></font>  . Strutture di monoide nell'insieme delle parti di un insieme. 

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 9 ottobre (Lezione 5)</b></font>  - 
<font color="#AF0F0F"><b> Venerdi 11 ottobre (Lezione 6)</b></font>-  
<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 14 ottobre (Lezione 7)</b></font>  -  ( *N* ,+) e legge di cancellazione. Il monoide ( *N* -{0}, . ) e  legge di annullamento del prodotto. Definizione della relazione d'ordine naturale su *N* -Morfismi di strutture algebriche e morfismi di monoidi, esempi. Risolvere gli esercizi della  [[%ATTACHURL%/Scheda_1-_ott._2013.pdf][Scheda 1]].

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 16 ottobre (Lezione 8)</b></font> - L'insieme dei numeri naturali *N* con la relazione d'ordine naturale è ben ordinato.  Dimostrazione del teorema di divisione in *Z* attraverso il buon ordinamento. Enumerare e contare. Principi del calcolo combinatorio: principio di uguaglianza, regole della somma e del prodotto. Cardinalità dell'insieme delle funzioni da un insieme finito A in un insieme finito R.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdi 18 ottobre (Lezione 9)</b></font>  - Dimostrazioni biiettive. Esempi. Fattoriale decrescente e numero delle funzioni iniettive. Coefficiente binomiale come numero dei sottoinsiemi con _k_ elementi di un insieme con _n_ elementi: proprietà e formula di Pascal. Dimostrazione biiettiva del Teorema binomiale. (Riguardo ai coefficienti binomiali si possono consultare le 
[[http://www.dsi.uniroma1.it/~md1c/md1c.pdf][dispense del corso di Combinatoria]]  di Körner e Malvenuto, pag 25 e seguenti). 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 21 ottobre (Lezione 10)</b></font> - Coefficienti multinomiali e scomposizioni di un insieme finito. Teorema multinomiale. Rappresentazione di una funzione dal punto di vista dell'occupazione e da quello della distribuzione. Principio dei cassetti: esempi. Dimostrazione del Principio di inclusione-esclusione e applicazione al calcolo del numero di funzioni suriettive da un insieme con n elementi in un insieme con r elementi. Calcolo dei numeri di Stirling di II specie. Consultare:
 [[%ATTACHURL%/Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf][Principio di inclusione-esclusione]]


<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledi 23 ottobre </b></font>- La lezione è stata cancellata. 

<font color="#AF0F0F"><b>  Venerdi 25 ottobre (Lezione 11)</b></font> - Strutture algebriche con una operazione: monoidi e gruppi. Sottostrutture: sottomonoidi e sottogruppi, esempi. Morfismi di monoidi e morfismi di gruppi. Potenze in un monoide e proprietà.  Dato un monoide (M,.) e un elemento a di M, esiste un solo morfismo di monoidi f da ( *N* ,+) in (M,.) tale che f (a) = 1.  Dato un gruppo(G,.) e un elemento a di G, esiste un solo morfismo di gruppi f da ( *Z*,+) in (G,.) tale che f (a) = 1. 
 Congruenza rispetto ad una operazione e struttura algebrica sul quoziente, esempi: la relazione su *N* x *N*  che definisce (a,b) equivalente a (c,d) se a+d =b+c, il cui quoziente è isomorfo al gruppo degli interi; la congruenza modulo n in ( *Z* ,+) e il gruppo ( *Z* /n *Z*,+). ordine di un elemento di un gruppo.
Risolvere gli esercizi della [[%ATTACHURL%/Scheda_2-_ott._2013.pdf][Scheda 2]]. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 28 ottobre (Lezione 12)</b></font>- Sottogruppi, CNES affinché un sottoinsieme sia un sottogruppo. Relazione di equivalenza individuata da un morfismo di semigruppi. Teorema di omomorfismo per i monoidi, esempi. Caratterizzazione dei morfismi di gruppi. Nucleo e immagine di un morfismo _f_ di gruppi. Teorema di omomorfismo per i gruppi: _x_ Ker _f_ = Ker _f_ _x_ è la classe di equivalenza costituita da tutti gli elementi del dominio la cui immagine è uguale a quella di _x_. Esempi. Polinomi a coefficienti reali in una indeterminata. Un morfismo _f_  di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il Ker _f_ è costituito solo dall'unità del dominio, è suriettivo se e solo se il sottogruppo Im _f_ coincide con il codominio.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 30 ottobre (Lezione 13)</b></font> - 

<font color="#AF0F0F"><b>  Venerdi 1 novembre </b></font>  - Vacanza accademica

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 4 novembre (Lezione 14) </b></font>   I nuclei dei morfismi di gruppi sono sottogruppi normali. Esempi. Strutture algebriche con 2 operazioni: anelli. Anelli commutativi, anelli unitari e domini di integrità. Esempio di un anello con divisori dello zero. Teorema di divisione : dati due interi a,b con b non nullo esiste un'unica coppia (q,r) con r numero naturale e r< |b| tale che a = qb+r . Esistenza e unicità del minimo comune multiplo di due interi non entrambi nulli. 

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledi 6 novembre (Lezione 15)</b></font>  - L'anello ( *Z* /n *Z*,+, .) delle classi resto modulo n, una classse [a] in tale anello è invertibile se e solo se MCD(a,n)=1. 
Il gruppo U( *Z* /n *Z*) degli elementi invertibili. L'anello ( *Z* /n *Z*,+, .) è un campo se e solo se n è un numero primo. Equazioni di primo grado in Z*/n*Z: condizione necessaria e sufficiente affinchè un'equazione sia compatibile e calcolo delle soluzioni: un'equazione in *Z* /n *Z*  del tipo [a]x = [b] è compatibile se e solo se MCD(a,n)|b e dunque se e solo se l'equazione [a|d]x = [b|d] ha una soluzione [s] modulo n/d; la soluzione [s] modulo n/d di ripartisce in d classi modulo n rappresentate da s, s+(n/d), s+2(n/d),...,s+(d-1)(n/d). Esempi. Risolvere gli esercizi della  [[%ATTACHURL%/Scheda_3-_nov._2013.pdf][Scheda 3]].

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdi 8 novembre (Lezione 16)</b></font> - Anagrammi e scomposizioni di un insieme, anagrammi e relativa relazione di equivalenza. Calcolo del numero di anagrammi che contengono almeno una fra sequenze assegnate. Esempi ed esercizi. (cfr.[[%ATTACHURL%/Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf][Esempio 4:anagrammi)]]. 

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 11 novembre </b></font>  Interruzione della didattica.

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledi 13 novembre </b></font>  - Interruzione della didattica, prova intermedia.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdi 15 novembre </b></font>  - Interruzione della didattica.

 <font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 18 novembre (Lezione 17)</b></font>  - Funzione di Eulero (cfr.  [[%ATTACHURL%/Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf][Esempio 1]]) e ordine del gruppo U(*Z* /n *Z*). 

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 20 novembre (Lezione 18)</b></font> - I numeri primi sono infiniti.  
<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 22 novembre (Lezione 19)</b></font> - Ogni gruppo ciclico infinito è isomorfo a (*Z* ,+), ogni gruppo ciclico di ordine n è isomorfo al gruppo (*Z* /n *Z* , +) delle classi resto modulo n. I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici, esempi. Prodotto tra matrici. L'anello delle matrici quadrate di ordine n su un campo K  è un anello unitario, non commutativo e con divisori dello zero. Matrici associate ad un sistema lineare e sua rappresentazione. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo, grado di un polinomio, elementi invertibili.

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 25 novembre (Lezione 20)</b></font> - 

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 27 novembre (Lezione 21)</b></font>  - Lo spazio vettoriale dei vettori liberi dello spazio euclideo. esempi.  (cfr. [[%ATTACHURL%/1.Spazi_vettoriali,_prime_proprieta.pdf][Spazi vettoriali: prime proprietà]] ).

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 29 novembre (Lezione 22)</b></font> - (cfr. [[%ATTACHURL%/2.Insiemi_dipendenti_e_indipendenti,_basi.pdf][Insiemi dipendenti e indipendenti, basi]]).

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedi 2 dicembre (Lezione 23)</b></font>  - Applicazioni lineari: condizione necessaria e sufficiente affinché una applicazione sia lineare,  il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare sono sottospazi, . una applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito solo dal vettore nullo, esempi, l'immagine di un insieme dipendente è dipendente, l'immagine di un sottospazio è un sottospazio, l'immagine di un insieme indipendente è indipendente se e solo se  l'applicazione lineare è iniettiva. 
<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 4 dicembre (Lezione 24)</b></font> -Teorema di omomorfismo per gli spazi vettoriali, esempi. Esempi.(cfr.[[%ATTACHURL%/3.Applicazioni_lineari.pdf][Applicazioni lineari]]) 


<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 6 dicembre (Lezione 25)</b></font> - L'intersezione di due sottospazi U e W  è il solo vettore nullo se e solo se ogni vettore di (U+W) si esprime in modo unico come somma di un vettore di U e uno di W (somma diretta). Esempi.  Spazio generato dalle righe e spazio generato dalle colonne di una matrice, rango per righe e rango per colonne di una matrice. Applicazione lineare L(A) individuata dalla matrice A di m righe e n colonne, l'immagine di L(A) è generata dalle colonne di A, quindi il rango per colonne di A è la dimensione di Im L(A). Il nucleo di L(A) è il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo AX = O ha dimensione (n - dim Im L(A)). L'insieme delle soluzioni di AX = B è costituito dai vettori X tali che L(A)(X)= B  ed è uguale  all'insieme H + Ker L(A), dove AH = B, (ossia ogni soluzione di AX = B si esprime come somma di una soluzione particolare H con una soluzione del sistema omogeneo associato). Matrici a scala per righe, pivot, le righe non nulle di una matrice a scala costituiscono un insieme indipendente (il rango per righe di una matrice a scala è uguale al numero delle righe non nulle). 


<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 9 dicembre (Lezione 26)</b></font>  - Relazione di equivalenza per righe tra matrici mxn. Operazioni elementari sulle righe, matrici elementari, il prodotto EA di una matrice elementare E per una matrice A è uguale alla matrice ottenuta da A applicando l'operazione elementare che dalla matrice identità I porta ad E, calcolo del rango per righe di una matrice attraverso il metodo di Gauss che consente di determinare una matrice a scala equivalente per righe ad una matrice data, esempi. Risoluzione di un sistema a scala SX=B: variabili dipendenti e indipendenti, il sistema a scala è compatibile se e solo se il rango per righe di S è uguale al rango per righe di S|B.  Risolvere gli esercizi della [[%ATTACHURL%/Scheda_4-_dic._2013.pdf][Scheda 4]].


<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 11 dicembre (Lezione 27)</b></font> - Esempi di problemi che comportano la risoluzione di sistemi lineari o il calcolo di una matrice equivalente per righe: data un'applicazione lineare calcolare una base dell'immagine e  una del nucleo, dato un sottospazio generato da un insieme finito di vettori G determinarne  una base, determinare una base della somma e dell'intersezione di due sottospazi, dato un insieme indipendente S determinare una base contenente S.

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 12 dicembre (Lezione 28)</b></font>   Esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Esempi. (cfr.[[%ATTACHURL%/4.Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf][Applicazioni lineari e matrici]]).

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 16 dicembre (Lezione 29)</b></font>  - Basi di Hom(V,V'), esempi. Matrici invertibili, le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) A è una matrice nxn invertibile. b) Il sistema AX = 0 ammette una sola soluzione. c) L'endomorfismo  L(A) definito da L(A)(X) = AX  è un isomorfismo.  d) Il rango di A è n. e) Il sistema AX=B ammette una sola soluzione per ogni n-pla B. Calcolo dell'inversa: la i-esima colonna dell'inversa di A è l'unica soluzione del sistema AX = (i-esima colonna di I). Definizione di determinante. Minori e complementi algebrici. Regola di Laplace per il calcolo del determinante (senza dimostrazione) e determinante della matrice trasposta. 

<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 18 dicembre (Lezione 30)</b></font>  - Proprietà del determinante. Il determinante di una matrice a scala è il prodotto degli elementi della diagonale. Se A è una matrice equivalente per righe alla matrice a scala S e le operazioni elementari eseguite per ottenere S da A sono solo del tipo 1 e 3, allora det (A) è uguale a det(S) o a -det(S). Il determinante di una matrice A è diverso da zero se e solo se rango di A è massimo. Teorema di Binet : det(AB) = det(A) det(B), dimostrazione tramite la matrici elementari. Determinante della matrice inversa. Matrice aggiunta e calcolo dell'inversa, esempi.  Teorema di Cramer (senza dimostrazione).

<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 20 dicembre (Lezione 31)</b></font>  Cambiamenti di base di uno spazio vettoriale. Esempi. Relazione di similitudine tra matrici quadrate. Due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due diverse basi. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Esempi ed esercizi. (cfr.
[[%ATTACHURL%/5.Diagonalizzazione.pdf][Matrici simili e diagonalizzazione]])

<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 23 dicembre - Lunedi 6 gennaio 2014 </b></font>  - Vacanze di Natale.


<font color="#AF0F0F"><b> Mercoledì 8 gennaio 2014 (Lezione 32)</b></font>  - Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi. Autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L di V è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base di V formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico e molteplicità algebrica di un autovalore. Un endomorfismo L è un isomorfismo se e solo se tutti i suoi autovalori sono non nulli. Come diagonalizzare un endomorfismo o una matrice.
 
<font color="#AF0F0F"><b> Venerdì 10 gennaio (Lezione 33)</b></font> - Il polinomio caratteristico è un invariante per similitudine. La molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale della sua molteplicità algebrica. Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata di ordine n ha grado uguale ad n e il suo termine noto è detA. Autovettori relativi ad autovalori a due a due distinti sono indipendenti. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) L'endomorfismo L di V è diagonalizzabile. b) Esiste una base formata da autovettori di L. c) V è somma diretta di autospazi. d) Ogni autovalore ha molteplicità albebrica uguale a quella geometrica e la somma delle molteplicità di tutti gli autovalori è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale V. Esempi ed esercizi.


<font color="#AF0F0F"><b> Lunedì 13 gennaio (Lezione 34)</b></font> - La traccia di una matrice è un invariante per similitudine. L'uguaglianza del determinante, del rango, del polinomio caratteristico è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché due matrici siano simili. Definizioni di applicazioni lineari.  Esercizi. 

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Ordine di un gruppo e ordine di un suo elemento. Funzione di Eulero 

Venerdì 9 novembre (Lezione 19</b></font> ) - Formualazioni equivalenti del principio di induzione. Numeri primi, ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o è il prodotto di numeri primi. Se un numero primo p divide il prodotto ab di due interi allora uno dei due numeri è divisibile per p . Teorema fondamentale dell'aritmetica. I numeri primi sono infiniti. Esercizi: anagrammi, equzioni diofantee, congruenze. 

Lunedì 19 novembre (Lezione 20)</b></font>  - Riepilogo: gruppi, ordine di un gruppo, ordine di un elemento, sottogruppi, morfismi. Teorema di omomorfismo per i gruppi: un morfismo f dal gruppo G nel gruppo G' individua il nucleo, sottogruppo di G, e l'immagine, sottogruppo di G'; la relazione su G definita da a equivalente b se e solo se f (a) = f (b) è una congruenza su G e il gruppo quoziente è isomorfo all'immagine, inoltre [ a ] = a Ker f .Esempi. Polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo e funzioni polinomiali. 

Mercoledì 21 novembre (Lezione 21)</b></font>  - Sottogruppo generato da un sottoinsieme, gruppi ciclici. Reticoli: dei numeri naturali con la divisibilità, dei sottoinsiemi di un insieme, dei sottogrupppi di un gruppo, esempi (cfr. Reticoli) Se a è un elemento di ordine finito t allora una potenza di a è uguale all'unità del gruppo se e solo se t divide l'esponente e due potenze di a sono uguali se e solo se i relativi esponenti sono congrui modulo t. Ogni un gruppo ciclico di ordine infinito è isomorfo al gruppo degli interi (Z,+) e ogni gruppo ciclico finito di ordine n è isomorfo al gruppo (Z /n Z,+) delle classi resto modulo n. 

Venerdì 23 novembre (Lezione 22)</b></font>  - I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. Se G è un gruppo ciclico di ordine n allora per ogni divisore h di n esiste un sottogruppo ciclico di ordine h. Relazioni di equivalenza individuate da un sottogruppo H di un gruppo (G,.) e relativi insiemi quozienti, laterali destri e sinistri, tutti i laterali hanno la stessa cardinalità di H. Lunedì 28 novembre (Lezione 23)</b></font>  - Lunedì 26 novembre (Lezione 23 ) - Corollari del teorema di Lagrange: generalizzazione del teorema di Fermat (se G è un gruppo finito di ordine n allora la potenza ennesima di ogni elemento è uguale all'unità), se l'ordine di un gruppo G è un numero primo allora i sottogruppi di G sono solo quelli banali e quindi G è ciclico. La relazione di equivalenza su G definita da H è una congruenza se e solo se H è un sottogruppo normale di G. Il nucleo di un morfismo di gruppi è un sottogruppo normale. Il gruppo di Klein. Ogni gruppo di ordine 4 è isomorfo al gruppo di Klein oppure al gruppo abeliano delle classi resto modulo 4. 

Mercoledì 28 novembre (lezione 24)</b></font>   - Anelli, anelli commutativi, anelli unitari, dominii di integrità. Esempi. Legge di annullamento del prodottto.Campi. Grado di un polinomio. L'anello K [x] dei polinomi in una indeterminata x a coefficienti in un campo K: polinomi invertibili, l'anello dei polinomi è privo di divisori dello zero. Teorema di divisione: algoritmo della divisione tra polinomi. Radici di un polinomio. Se a è radice del polinomio p(x) allora p(x) è divisibile per il polinomio (x- a ). Ogni polinomio non nullo di grado n ha al più n radici. Due polinomi p(x) e g(x) sono uguali se e solo se per ogni n intero positivo p(n) = g(n). Definizione di matrice con m righe e n colonne. Il gruppo (M(m,n),+) delle matrici con m righe e n colonne. 

Venerdì 30 novembre (Lezione 25)</b></font>  - Lunedì 3 dicembre (Lezione 26)</b></font> - Mercoledì 5 dicembre (Lezione 27)</b></font>  - ) 

Venerdì 7 dicembre (Lezione 28)</b></font>   - Lunedì 10 dicembre (Lezione 29 )</b></font>  -  
Mercoledi 12 dicembre (Lezione 30)</b></font>   - .  Lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle appplicazioni lineari dallo spazio vettoriale V nello spazio vetttoriale V'. Esempi ed esercizi. 

Venerdi 14 dicembre (Lezione 31)</b></font>   - Vettori indipendenti e vettori dipendenti da un sottoinsieme di vettori. Insiemi linearmente dipendenti e insiemi linearmente indipendenti. Un insieme è indipendente se e solo se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella con i coefficienti tutti nulli. Base di uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale ha una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione). Le seguenti proposizioni sono equivalenti:a) il sottoinsieme B è una base; b) B è un insieme di generatori minimale; c) B è un insieme indipendente massimale; d) ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Dimensione. Un insieme indipendente con n elementidi uno spazio vettoriale di dimensione n è una base (senza dimostrazione). Ogni applicazione lineare iniettiva manda insiemi indipendenti in insiemi indipendenti. Ogni spazio vettoriale V su un campo K ha dimensione n se e solo se è isomorfo allo spazio vettoriale delle n-ple di elementi di K. Esempi.(cfr. Complementi ed esercizi: basi di uno spazio vettoriale) 

Lunedì 17 dicembre (Lezione 32)</b></font>  - Teorema del completamento: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sottoinsieme S indipendente, |S|= t <n, è possibile determinare un insieme S' di (n-t) vettori tale che l'unione di S ed S' sia una base di V". Teorema dell'estrazione di una base: "Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e dato un sistema G di generatori di V con t elementi (n<t) è possibile determinare un sottoinsieme G' di G con (t-n) vettori in modo che G-G' sia una base di V. Esempi. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n allora un sistema di generatori con n vettori è una base, un insieme di (n+1) vettori è dipendente. Relazione tra la dimensione del nucleo e quella dell'immagine di una applicazione lineare. Applicazione lineare L(A) individuata da una matrice A, il nucleo di L(A) è il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo AX =O. Rango per righe e rango per colonne di una matrice. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: a)un sistema lineare AX=B è compatibile; b) B appartiene all'immagine di L(A); c) B appartiene al sottospazio generato dallle colonne di A. 

Mercoledì 19 dicembre (Lezione 33)</b></font>  -



Giovedi 20 dicembre (Lezione 34)</b></font>  -  L'insieme delle soluzioni di AX = B è uguale all'insieme H + Ker L(A), dove AH = B, ossia ogni soluzione si esprime come somma di una soluzione particolare H con una soluzione del sistema omogeneo associato.Ogni applicazione lineare è individuata dai valori che assume sui vettori di una base. 



 Venerdi 21 dicembre 2012 - 6 gennaio 2013  - Vacanze di Natale. Ripassare svolgendo gli esercizi della Scheda 3 



Lunedì 7 gennaio (Lezione 35)</b></font>  - Isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,V') delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn, dove n = dimV e m = dim V'. Esempi. Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari. Esempi. Matrici quadrate invertibili. Se A è una matrice di ordine n ad elementi in K, le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1)A è invertibile. 2) L'applicazione lineare che ad ogni n-pla X di elementi di K associa AX è un isomorfismo. 3) Il rango di A è n. 4) Il sistema AX = 0 ammette solo la soluzione nulla. 5) Il sistema AX = B ammette una sola soluzione. Calcolo della matrice inversa risolvendo sistemi lineari. Definizione della funzione determinante e sue proprietà. i di righe con righe del tipo R + k R' e scambi di righe allora det(A) è uguale a det(S) o a -det(S). Esempi. Una matrice A è invertibile se e solo se det(A) è non nullo. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Determinante della matrice inversa. Complementi ed esercizi: applicazioni lineari e matrici . 



Mercoledì 9 gennaio (Lezione 36)</b></font>  - Teorema di Cramer (senza dimostrazione).Venerdi 11 gennaio (Lezione 37)</b></font>  - Diagonalizzazione di matrici quadrate e di endomorfismi. Autovettori e autovalori di un endomorfismo e di una matrice, autospazi e molteplicità geometrica di un autovalore. Un endomorfismo L è diagonalizzabile se e solo se è possibile determinare una base formata da autovettori di L. Polinomio caratteristico, grado del polinomio caratteristico, molteplicità algebrica di un autovalore. Gli autospazi hanno somma diretta (senza dimostrazione). Relazione tra la molteplicità geometrica e quella algebrica. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Un endomorfismo L di uno spazio vettoriale di dimensione n è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore la sua molteplicità geometrica coincide con quella algebrica e la somma delle molteplicità è uguale ad n. Un endomorfismo L di uno spazio vettoriale V di dimensione n è diagonalizzabile se e solo se la somma dei suoi autospazi è V. Esempi ed esercizi. 

 Giovedi 14 gennaio (Lezione 38)</b></font>  - Esercizi. Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici. Risolvere gli esercizi della Scheda 4 


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   * [[%ATTACHURL%/Scheda_3-_nov._2014.pdf][scheda 3]]

   * [[%ATTACHURL%/1.Spazi_vettoriali,_prime_proprieta.pdf][Complementi ed esercizi: Spazi Vettoriali, prime proprietà]]

   * [[%ATTACHURL%/2.Insiemi_dipendenti_e_indipendenti,_basi.pdf][Complementi ed esercizi: Dipendenza e indipendenza lineare, basi]]: 

   * [[%ATTACHURL%/3.Applicazioni_lineari.pdf][Complementi ed esercizi: Applicazioni lineari]]

   * [[%ATTACHURL%/4.Applicazioni_lineari_e_matrici.pdf][Complementi ed esercizi: Applicazioni lineari e matrici ]]: Complementi ed esercizi: Applicazioni lineari e matrici

   * [[%ATTACHURL%/Scheda_4-_dic._2014.pdf][scheda 4]]

   * [[%ATTACHURL%/5.Diagonalizzazione.pdf][Complementi ed esercizi: Diagonalizzazione]]

   * [[%ATTACHURL%/Reticoli.pdf][Reticoli]]

   * [[%ATTACHURL%/Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf][Principio_di_inclusione_-esclusione.pdf]]: Principio di inclusione-esclusione

   * [[%ATTACHURL%/Scheda_1-.pdf][Scheda 1]]: Scheda 1

   * [[%ATTACHURL%/Scheda_2-.pdf][Scheda 2]]: Scheda 2
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