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SCHEDA 1
Insiemi: descrizione e rappresentazione, elementi e appartenenza. Sottoinsiemi, insieme vuoto. Unione, intersezione, complemento. Prodotto cartesiano. Relazioni, funzioni.


1.  Si assegna un insieme quando: a) si elencano i suoi elementi
                                                          b) si definisce una proprietà   
1.1. Per gli  insiemi seguenti si riconosca come sono definiti:
	Insieme degli articoli della lingua italiana.
	&#61563;1,3,6,10,15,21,28,&#8230;.&#61565;
	{x &#61646;N: &#8707; z tale che x = z-3 }
	Insieme delle regioni italiane.
	&#61563;1,5,12,22,35,51,&#8230;&#61565;
	&#61563;x &#61646;N: x-1 è pari&#61565;
	Insieme delle ossa del cingolo pelvico.
	{x&#61646;N: x = x2}
	&#61563;1,2,3,5,8,13,21,3,&#8230;} 
	&#61563;x&#61646;N: &#8707; z&#61646;N tale che x =2z+1 &#61565;
	&#61563;5,7,9,11,13,15&#61565;,
	Insieme dei numeri primi, pari e diversi da 2.
	&#61563;Parco Colle Oppio, Parco Egerio, Parco S&#8217;Andrea, Parco San Gregorio, Parco San Sebastiano, Parco degli Scipioni&#61565;
	{1,4,9,16,25,&#8230;,n2,&#8230;}
	&#61563;x&#61646;N: x2+x =1&#61565;
	Insieme dei multipli di 3 compresi tra 10 e 22.
	{x&#61646;N:   z si ha x+z = z}
	L&#8217;insieme dei numeri dispari,
	&#61563;xÎN: &#8707; z ÎN tale che z = 2x&#61565;
1.2. Si definiscano con una proprietà quelli tra gli insiemi precedenti dei quali si sono elencati gli elementi.

2.Sottoinsiemi, unione, intersezione. Uguaglianze. Dualità.
2.1. Dati gli insiemi  X = &#61563;a,c,d&#61565;,  Y = &#61563;a,b,d,e&#61565;, Z = &#61563;a,b&#61565; quali delle seguenti espressioni sono corrette?
Z&#61646;Y
X&#61644;Y
a&#61646; Z
a&#61644;X
(X&#61640;Z) &#61644;Y
X&#61639;Z &#61646;Y
Z&#61645;Y
X&#61639;Z = a
Z&#61644;Y
	.  Dati gli insiemi: 
 A =&#61563;x&#61646;Z: la divisione di x per 4 ha resto 2&#61565;, B = &#61563;x&#61646;Z:   n&#61646;Z tale che  (x-18) = 4n &#61565;, dimostrare che A=B
2.3. Si dimostri che B&#61640;C =&#61638; se e solo se B=&#61638; e C=&#61638;.
2.4. Sia B un sottoinsieme di X. Si dimostri che se A&#61640;B =A per ogni sottoinsieme A allora B = &#61638;.
2.5.Dimostrare che la legge di cancellazione è falsa. Ossia se  AÈB = AÈC non necessariamente si ha B = C.
2.6. Dimostrare che l&#8217;unione (AÈB) di due sottoinsiemi di X è contenuta in tutti i sottoinsiemi di X contenenti sia A che B, mentre l&#8217;intersezione (A&#61639;B) contiene tutti i sottoinsiemi di X contenuti sia in A che  in B. 
2.7. (A&#61640;B)&#61639;C è uguale ad A&#61640;(B&#61639;C)?
2.8. Siano X ed Y due insiemi tali che esiste un insieme Z per cui   X&#61639;Z = Y&#61639;Z  e  X&#61640;Z = Y&#61640;Z, dimostrare che necessariamente X = Y.
2.9. Si considerino l&#8217;insieme A degli interi divisibili per 3, l&#8217;insieme B degli interi divisibili per 5, l&#8217;insieme C degli interi divisibili per 20. Determinare A&#61639;B, A&#61640;B, A&#61639;B&#61639;C, A&#61640;B&#61640;C, (A&#61639;B)&#61640;C e (A&#61640;B)&#61639;C. 

3.Differenza.
Dato un insieme I e un sottoinsieme A di I, il complementare di A è l&#8217;insieme:
A &#773;={ x&#61646;I: x&#61647;A}.
3.1. Dimostrare che : A &#773;&#8745;B &#773;= (A&#8746;B) &#773;   e A &#773;&#8746;B &#773;=(A&#8745;B) &#773;(De Morgan)
3.2. Dimostrare che  A-(B&#8746;C)=(A-B)&#8745;(A-C).
3.3. Differenza simmetrica   si definisce come segue: A B =(A-B)&#61640;(B-A). Dimostrare che  
                                   (A&#8710;B)=(A&#8746;B)&#61639;(A &#773;&#8746;B &#773;)
3.4. Verificare che la differenza simmetrica è associativa, commutativa e soddisfa la proprietà distributiva rispetto all&#8217;intersezione ma non rispetto all&#8217;unione. 
3.5. Definire una operazione analoga alla differenza simmetrica (ossia associativa e commutativa) che sia distributiva rispetto all&#8217;unione ma non rispetto all&#8217;intersezione.  
3.6. Dimostrare che (A&#8746;B)&#8745;B &#773;=A  se e solo se A&#8745;B=&#8709;.
3.7. Si dimostri che AÍB è equivalente ad ognuna delle seguenti condizioni:
i)A&#8710;B=B-A, 
ii) se A e B sono sottoinsiemi di X, A &#773;&#8746;B=A&#8746;B &#773;=X.
3.8. Calcolare: 
	(A&#8745;B &#773; ) &#773;&#8746;(B&#8745;C) 
	(((A&#8745;B)&#8746;C) &#773;&#8745;B &#773; ) &#773;
	((A&#8746;B)&#8745;A &#773;)&#8746;(B&#8745;A) &#773;

4.Prodotto cartesiano
4.1. E&#8217; vera l&#8217;identità (AxA)xA = Ax(AxA)? Ogni sottoinsieme di un prodotto cartesiano è un insieme prodotto?
4.2. Dei seguenti insiemi determinare quelli prodotto e indicarne i &#8220;fattori&#8221;:
&#61563;(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(2,1)&#61565;, l&#8217;insieme dei punti della superficie di un cilindro, l&#8217;insieme dei punti della superficie di una piramide a base quadrata.
4.3. Verificare le seguenti identità:
(A&#61640;B)&#61620;C =(A&#61620;C)&#61640;(B&#61620;C)
(A&#61639;B)&#61620;(C&#61639;D)=(A&#61620;C)&#61639;(B&#61620;D)

     
 5. Relazioni e  funzioni.
E&#8217; assegnata una relazione &#61554; tra A e B quando è definito un sottoinsieme R&#61554; del prodotto cartesiano AxB (grafico della relazione).

5.1. Si rappresenti graficamente la relazione x2+y2= 5 tra  numeri reali e la relazione x2+y2= 5 tra numeri interi.
5.2. Determinare una coppia di relazioni che siano la prima inclusa nella seconda.
5.3. Siano A=&#61563;Lazio,Liguria,Puglia,Toscana,Sicilia,Sardegna&#61565; e 
B = &#61563;Carbonia,Cesano,Imperia,Manfredonia, Narni, Orvieto,Parma,Piombino,Veroli&#61565;, rappresentare graficamente la relazione &#8220;La città x appartiene alla regione y&#8221;.
5.4. Rappresentare graficamente le relazioni  R tra numeri reali definite da:
	(x,y) ÎR se e solo se  -1&#61603;x&#61603; 1/2  e 1< y<2
	(x,y) Î R se e solo se  y=x2
	(x,y) ÎR se e solo se x>y
	(x,y) ÎR se e solo se 1&#61603;y&#61603;x 

Un insieme parzialmente ordinato è una coppia (P,&#61603;) dove P è un insieme non vuoto e &#61603; è una relazione d&#8217;ordine su P (ossia una relazione riflessiva, antisimmetrica transitiva).

5.5. Posto A =&#61563;1,2,3,4,5,6,7,8&#61565;, si rappresenti il diagramma di Hasse di (A,|) e dell&#8217;insieme parzialmente ordinato duale.
5.6. Si consideri l&#8217;insieme B =&#61563;n&#61646;N: n= 2r3s con r,s&#61646;N&#61565;. Dimostrare che la relazione &#61554; su B definita da:
(2r3s &#61554;  2t3u ) &#61659; (r&#61603;t e s&#61603;u)
è una relazione d&#8217;ordine. Considerati i sottoinsiemi di B: F=&#61563;2,4,12,16&#61565; e G=&#61563;3,16,27,32&#61565;. Si rappresentino i diagrammi di Hasse degli insiemi parzialmente ordinati (F,&#61554;) e (G,&#61554;).
5.7. Determinare una relazione riflessiva antisimmetrica ma non transitiva.
5.8. Determinare una relazione antisimmetrica e transitiva ma non riflessiva.

Una funzione f: A&#61614;B è una terna ordinata (A,B,f) dove A e B sono insiemi (rispettivamente il dominio e il codominio) ed f è un sottoinsieme di AxB  tale che per ogni a di A esiste un solo elemento b di B, chiamato immagine di a, per cui (a,b) &#61646;f.

5.9. Quali tra le seguenti relazioni tra N e Q sono funzioni? Si motivi la risposta.
x&#61554;1y &#61659; 2x =3y
x&#61554;2y Û 2x2=3y
x&#61554;3y Û 2x=3y2
x&#61554;4yÛ 2x =3|y|
5.10. Determinare il dominio della funzione  reale f() =&#8730;(x+1)  e l&#8217;immagine tramite f dell&#8217;insieme [2,3].
5.11. Determinare il dominio della funzione reale  f(x) = (x + 1)2 e l&#8217;immagine tramite f dell&#8217;insieme [&#8722;2, 1].
5.12.Determinare dominio ed immagine della funzione il cui grafico è il seguente:

 

5.13. Data la funzione reale f(x) = 2x + 3, verificare che è iniettiva su [0,1] e determinare l&#8217;immagine f ([0, 1]). La funzione f : R&#61614;[0, 1] tale che f(x) = 2x + 3 è invertibile?.
5.14. Data la funzione reale f(x) = (x &#8722; 1)2, verificare che non è iniettiva su [0,2], determinare un intervallo I contenuto in [0,2] su cui f è iniettiva e trovare l&#8217;immagine di tale intervallo tramite f . Definire l&#8217;inversa della funzione f : I&#61614;I definita da f(x) = (x &#8722; 1)2.
5.15. Data la funzione f(x) = (x+1)/(x&#8722;1), verificare che `e iniettiva su [2,4],
calcolare l&#8217;immagine di [2, 4] tramite f e scrivere l&#8217;inversa di f: [2,4] ® [2,4]
definita da f(x) = (x+1)/(x&#8722;1).

Una relazione di equivalenza su un insieme A è una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva. Dato a &#61646;A, l&#8217;insieme degli elementi di A equivalenti da a costituiscono la classe di equivalenza rappresentata da a. L&#8217;insieme delle classe di equivalenza  A/&#61554;  si chiama insieme quoziente ed è una partizione di A. 

5.16. Si determini una relazione simmetrica,transitiva ma non riflessiva.
5.17. Si consideri in Z la relazione  &#61554; definita da:
a &#61554; b&#61659; a=b o a,b&#61646;N.
Dimostrare che &#61554; è una relazione di equivalenza su Z e determinare l&#8217;insieme quoziente.
5.18. Si consideri la relazione &#61627; su NxN definita da:
(m,n) &#61627; (p,q) &#61659; m +q= n+p
Dimostrare  che &#61627; è una relazione di equivalenza il cui insieme quoziente ha la stessa cardinalità di Z.
5.19.Si consideri l&#8217;insieme B =&#61563;n&#61646;N: n=2r3s con r,s&#61646;N&#61565;.Dimostrare che la relazione &#61566; su B definita da:
2r3s&#61566;2t3&#61659; r+s =t+u
è una relazione di equivalenza. Determinare le classi di equivalenza rappresentate dai seguenti numeri:  1,3,4,12. La relazione &#61554; su B definita da:
2r3s&#61566;2t3uÛ r+u =s+t
È di equivalenza?Quale proprietà ha?
5.20. Sia f: R&#61614;R definita da f(x) = x2-1, determinare l&#8217;immagine di f. Determinare il quoziente R/&#61566;f, dove  &#61566;f è la relazione di equivalenza definita da: x&#61566;f z &#61659; f(x) = f(z)