Diario delle lezioni Algebra A-L, prof. Claudia Malvenuto, a.a. 2021-2022

Lunedì 27 settembre 2021 (Lezione I - ora 1, 2, 3) - Introduzione al corso: modalità d'esame, sito, ricevimento, libri adottati, argomenti del corso. Etimologia di algebra e l' AlgebristaOrtopedico nel Don Chisciotte. Richiami su: corrispondenze, relazioni, relazioni di equivalenza, classi di equivalenza.

Ripassare il paragrafo 1.1 e 1.2 di [AA]. Leggere e rifare gli esercizi svolti dei paragrafi 1.1 e 1.3 del libro [EA]. Svolgere gli esercizi proposti sulle corrispondenze, relazioni e relazioni di equivalenza che si trovano nella prima scheda di esercizi.

Mercoledì 29 settembre (Lezione II - ore 4, 5) - Insieme quoziente modulo una relazione di equivalenza. Esempi ed esercizi. Applicazioni: dominio, codominio, immagine di un elemento, insieme immagine, controimmagine di un elemento del codominio; iniettività suriettività, applicazioni biunivoche, invertibili, composizione di applicazioni, applicazioni inverse.

Giovedì 30 settembre(Lezione III - ore 6 ,7) - Esempi di applicazioni: applicazione identica; inclusione; applicazione costante; proiezioni canoniche del prodotto cartesiano sulle sue componenti; proiezione canonica di un insieme S con relazione di equivalenza sul suo quoziente. Relazione di equivalenza associata ad un'applicazione f di S in T: è la relazione definita per ogni a, b in S come a R b se e solo se f(a)=f(b).

Ripassare il paragrafo 1.3 di [AA]. Leggere e rifare gli esercizi svolti del paragrafo 1.2 del libro [EA]. Svolgere gli esercizi proposti sulle funzioni che si trovano nella seconda scheda di esercizi.

Lunedì 4 ottobre (Lezione IV - ore 8, 9, 10) - Ripassare a casa i seguenti argomenti: 1. Proposizione: Per ogni applicazione f di S in T esiste un'applicazione biunivoca F dal quoziente di S (modulo l'equivalenza a R b se e solo se f(a)=f(b)) in Im(f) che si fattorizza attraverso la proiezione canonica e l'immersione (cfr. Proposizione 5. e 6. sugli appunti del prof. Campanella 1.3). 2. Gli interi Z come classi di equivalenza di N x N. Definizione di somma e prodotto e loro proprietà: Z è un anello commutativo con unità. Studiare il paragrafo 2.1 di [AA] (oppure il paragrafo 1.3 di [A]).

Visto in classe Assiomatica di Peano dei numeri naturali. Il principio di induzione: prima forma (debole) e seconda forma (forte). Il principio del buon ordinamento: ogni sottoinsieme non vuoto di naturali ammette un minimo. Teorema: i tre principi di induzione prima forma, di induzione seconda forma e del buon ordinamento sono equivalenti cfr. [AA]).

Studiare il paragrafo 1.4 di [AA]. Svolgere gli esercizi proposti sul principio di induzione della terza scheda di esercizi.

Mercoledì 6 ottobre (Lezione V - ore 11, 12) - L'insieme delle parti di un insieme finito a n elementi ha 2^n elementi (due dimostrazioni: tramite la funzione caratteristica oppure per induzione). Teorema (divisione con resto in N): dati a e b naturali, con b non nullo, esistono due naturali q ed r tali che a=bq + r e con 0<= r < b (la dimostrazione usa la seconda forma del principio di induzione). L'insieme delle parti di un insieme finito a n elementi ha 2^n elementi (due dimostrazioni: tramite la funzione caratteristica oppure per induzione). Teorema (divisione con resto in N): dati a e b naturali, con b non nullo, esistono due naturali q ed r tali che a=bq + r e con 0<= r < b (la dimostrazione usa la seconda forma del principio di induzione). Dimostrare (per esercizio) che la divisione col resto si può fare anche in Z.

Studiare il paragrafo 1.6 di [AA].

Giovedì 7 ottobre (Lezione VI - ore 13, 14) - Calcolo combinatorio: numero di applicazioni di A in B; numero di applicazioni iniettive di A in B; il numero di applicazioni biiettive di un insieme A in sé, per A e B insiemi finiti. Il principio dei cassetti (detto anche pigeonhole principle). Le permutazioni. Il coefficiente binomiale. Sviluppo di una produttoria in sommatoria. Interpretazione combinatoria del coefficiente binomiale BIN(n,k) come numero di stringhe binarie lunghe n con k occorrenze di un simbolo oppure come numero di sottoinsiemi a k elementi presi da un insieme a n elementi. Formula del coefficiente binomiale.

Teorema (divisione con resto in Z): dati a e b interi, con b non nullo, esistono unici due interi q ed r tali che a=bq + r e con 0<= r < b: unicità di quoziente e resto; estensione della divisione col resto a tutto Z. Relazioni d'ordine, insiemi parzialmente ordinati, massimo, minimo, elementi minimali e massimali, diagramma di Hasse di un insieme parzialmente ordinato. La relazione di divisibilità su N. Definizioni di elementi associati, irriducibili e primi in Z. Esercitazione sulle prime 4 schede di esercizi (in particolare, esercizi sui numeri di Fibonacci e sui coefficienti binomiali). Per i coefficienti binomiali si possono anche consultare le dispense del corso di Combinatoria di Körner e Malvenuto. pag 25 e seguenti. Svolgere gli esercizi proposti sul calcolo combinatorio della quarta scheda di esercizi.

Studiare il paragrafo 2.2 di [AA] (oppure il paragrafo 1.3 di [A]). Leggere e rifare gli esercizi svolti del paragrafo 1.4 del libro [EA].

Lunedì 11 ottobre (Lezione VII - ore 15, 16, 17) - Massimo comune divisore. Teorema (esistenza del MCD): dati a, b interi non entrambi nulli: 1) esiste d=(a,b) massimo comune divisore; 2) identità di Bézout: d= sa + tb per opportuni interi s e t (ovvero: d si esprime come combinazione lineare di a e b): dimostrazione col principio del buon ordinamento. Algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comune divisore e di un'identità di Bézout per esso. Esempi relativi. Definizione di numero primo (o irriducibile). Proposizione: se un numero p è primo e divide il prodotto di due numeri interi a e b, allora p divide almeno uno dei due.Equazioni diofantee (da Diofanto di Alessandria) a coefficienti interi. Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché l'equazione ax+by=c (a,b interi) abbia soluzioni intere è che il massimo comune divisore tra a e b divida il termine noto c. Teorema: ogni intero diverso da 1 e 0 ammette una fattorizzazione in primi. Tale fattorizzazione è unica, a meno dell'ordine dei fattori. Esercitazione sulle prime 4 schede di esercizi (in particolare, esercizi sui numeri di Fibonacci, funzioni suriettive, sui coefficienti binomiali).

Studiare il paragrafo 2.3, 2.4 e 2.6 di [AA]. Leggere e rifare gli esercizi svolti del paragrafo 1.4 del libro [EA].

Mercoledì 13 ottobre (Lezione VIII - ore 18, 19) - Proposizione: se un numero p è irriducibile (cioè ha solo fattorizzazioni banali) e divide il prodotto di due numeri interi a e b, allora p divide almeno uno dei due. Lemma: ogni numero è coprimo col suo successivo. Teorema: l'insieme dei numeri primi è infinito. La congruenza modulo n. Proposizione: a congruo a b (mod n) se e solo se a e b hanno lo stesso resto nella divisione per n. Operazioni sulle classi resto (mod n). Dimostrare che la somma e il prodotto di classi resto sono ben poste (indipendenti dalla scelta dei rappresentanti delle classi). Proprietà delle operazioni tra classi resto modulo n. Proposizione: comunque prese classi resto a, b c d in Z/nZ, vale (i) se a=b e c=d allora a+c= b+d; (ii) a+c= b+c; (iii) ac=bc; (iv) a^i=b^i per ogni naturale i. Fare gli esercizi relativi agli argomenti spiegati su numeri primi, divisibilità, equazioni diofantee della quinta scheda di esercizi.

Studiare il paragrafo 2.3, 2.4 e 2.6 di [AA]. Leggere e rifare gli esercizi svolti del paragrafo 1.4 del libro [EA].

Giovedì 14 ottobre (Lezione IX - ore 20, 21) - Proposizione: se p primo, allora (x+y)^p è congruo a x^p + y^p (Dim. si usa il fatto che per p primo, p divide ogni coefficiente sulla p-sima riga del coefficiente binomiale, tranne il primo e l'ultimo, che valgono 1). Esempi: tavola additiva e moltiplicativa di Z/4Z e Z/5Z, calcolo dell'inverso moltiplicativo. Svolti esercizi della scheda 5.

Studiare il paragrafo 2.6, 2.7 (senza il Teorema cinese del resto) e 2.9 (solo il Teorema di Wilson, dato come esercizio) di [AA].

Lunedì 18 ottobre (Lezione X - ore 22, 23, 24) - Duecentesimo anniversario della nascita di Évariste Galois. Piccolo teorema di Fermat: se p è primo, allora a^p=a in Z/pZ, per ogni a in Z (dimostrazione: per induzione se a positivo, poi si dimostra per a>0 usando le proprietà delle potenze). Corollario del piccolo Teorema di Fermat: se p è primo, allora per ogni a, tranne i multipli di p, si ha che a^(p-1) congruo ad a modulo p.

Studiare il paragrafo 5.1 di [AA]. Svolgere gli esercizi della sesta scheda di esercizi.

Mercoledì 20 ottobre (Lezione XI - ore 25, 26) - Proposizione: in Z/pZ l'inverso di ogni classe non nulla si ottiene calcolando la potenza (p-2)-sima di quella classe. Definizioni di operazione associativa, commutativa. Definizione di monoide. Il monoide delle parole su un alfabeto finito. Definizione di gruppo. Esempi. Il gruppo U(Z/mZ) degli invertibili di Z/mZ. Il gruppo simmetrico su 3 elementi. Proposizione (condizione sotto cui si può invertire la prop. (iii)) In Z/nZ se ac=bc e c ed n sono coprimi, allora a=b (si puo' dividere l'uguaglianza per c). Elementi invertibili in Z/nZ. Proposizione: Un elemento a di Z/nZ e` invertibile se e solo se a ed n sono coprimi.

Criterio: ricerca dell'inverso moltiplicativo a in Z/nZ (si usa un'identità di Bézout per 1=(a,n) tramite algoritmo di Euclide). Proposizione: se ac=bc in Z/nZ allora a=b in Z/(n/d)Z, con d=(c,n).

Studiare il paragrafo 2.6 e 2.7 di [AA]. Svolgere gli esercizi della sesta scheda di esercizi.

Giovedì 21 ottobre (Lezione XII - ore 27, 28) - Risoluzione di congruenze lineari (ovvero di equazioni lineari in Z/nZ).

Definizione di ordine di un gruppo, ordine dei suoi elementi (se esiste). Classificazione dei gruppi di ordine 1, 2, 3, 4. Il gruppo di Klein delle trasformazioni isometriche del rettangolo. Tavole moltiplicative e isomorfismi (esempi). Il gruppo diedrale delle simmetrie del quadrato.

Svolgere gli esercizi della settima scheda di esercizi. Studiare il paragrafo 5.1 di [AA].

Regole di calcolo in un gruppo: Proposizione: l'elemento neutro è unico in un gruppo; l'inverso di ogni elemento è unico. L'inverso di ab è il prodotto degli inversi di a e b ma in ordine inverso (ab)^(-1)=(b)^(-1)(a)^(-1). L'inverso dell'inverso di ogni elemento è l'elemento stesso. La medaglia Fields Terence Tao espone il suo pensiero sulla questione "Occorre essere dei geni per fare matematica?", e offre qualche consiglio su come diventar piú bravi nel risolvere problemi ed esercizi.

Sottogruppi di un gruppo. Esempi. Proposizione (criterio per stabilire se un sottoinsieme e' un sottogruppo): un sottoinsieme di un gruppo G è un sottogruppo se e solo se 1) S non è vuoto; 2) per ogni a, b in G il prodotto di a per l'inverso di b è in S. La relazione S <= T (S è sottogruppo di T) tra sottogruppi di un gruppo è una relazione d'ordine.

Studiare i paragrafi 4.1, 3.1, 2.11 di [AA].

Lunedì 25 ottobre (Lezione XIII - lezioni 29, 30, 31) - Proposizione: L'intersezione di due o più sottogruppi di un gruppo è un sottogruppo. (Ciò non vale per l'unione di due sottogruppi). Proposizione (senza dim.): L'unione di due sottogruppi è un sottogruppo se e solo se uno dei due sottogruppi è contenuto nell'altro. Definizione di sottogruppo generato da un sottoinsieme del gruppo. Sottogruppo generato dall'unione di due sottogruppi. Sottogruppo <g> generato da un singolo elemento g di G. Sottogruppi ciclici: definizione, esempi. Proposizione (senza dimostrazione): Il sottogruppo generato da un insieme X è l'insieme che contiene tutti i prodotti finiti t_1*t_2*...*t_r dove i t_i oppure i loro inversi sono in X. Corollario: Il sottogruppo <g> generato da un singolo elemento consiste di tutte e sole le potenze intere di g. Se g non ha periodo finito, allora <g> è infinito e g^h=g^k se e solo se h=k; se g ha ordine (periodo) finito pari a n, allora <g>={e,g,g^2, ..., g^(n-1)} contiene tutte e sole le potenze di g con esponente 0, 1,..., n-1, ed è quindi un sottogruppo di ordine n (isomorfo al gruppo additivo (Z/nZ, +) delle classi resto modulo n.

Studiare il paragrafo 5.1 di [AA]. Svolgere gli esercizi corrispondenti al paragrafo 5.1 di [AA] e del libro [EA] relativi ai sottogruppi e gruppi ciclici. Svolgere gli esercizi della ottava scheda di esercizi.

Mercoledì 27 ottobre (Lezione XIV - ore 32, 33) - Il gruppo simmetrico delle permutazioni su n elementi S_n. Scrittura canonica delle permutazioni come tabella a 2 righe ed n colonne. I gruppi diedrali D_n e di Klein (movimenti rigidi, o isometrie) dei poligoni regolari.

Studiare il paragrafo 5.2 e 5.4 di [AA]. Completare i problemi della nona scheda di esercizi sulle permutazioni.

Giovedì 28 ottobre (Lezione XV - ore 34, 35) - Definizione di gruppo ciclico e di generatore di un gruppo ciclico. Un gruppo ciclico è abeliano. Studio e caratterizzazione dei sottogruppi dei gruppi ciclici: ogni sottogruppo di un gruppo ciclico, e' ciclico. Se G ha ordine finito n ed e' generato da un suo elemento g (di ordine n) allora esiste uno e un solo sottogruppo per ogni k divisore di n, generato da g^k, che e' di ordine n/k. Esempio: i sottogruppi di Z/12Z, diagramma di Hasse dei sottogruppi di Z/12Z ordinati rispetto alla relazione d'ordine "S è sottogruppo di T", confronto col diagramma di Hasse dei divisori di 12. Teorema (struttura dei sottogruppi di un gruppo ciclico: senza dimostrazione). Sia G=<g> un gruppo ciclico di ordine n: allora i) ogni sottogruppo H di G è ciclico. ii) Se H è sottogruppo di G allora |H| (l'ordine di H) divide l'ordine |G| di G. iii) Per ogni divisore k di n, esiste uno e un solo sottogruppo H di G di ordine k, quello generato dalla potenza n/k-sima di g. Studiare il paragrafo 5.2 di [AA]. Svolgere i problemi della nona scheda di esercizi sulle permutazioni.

Mercoledì 3 novembre (Lezione XVI - lezione 36, 37) - Calcolo dell'inversa, prodotto di permutazioni (composizione funzionale). Potenza n-sima di una permutazione. Scrittura in cicli disgiunti di una permutazione: esempi. Orbita di un elemento secondo una permutazione S come classe di equivalenza della relazione su [n]: x R y se e solo se y= S(x). Definizione di ciclo di una permutazione S. Teorema: ogni permutazione si scrive come prodotto dei suoi cicli disgiunti. Proposizione: ogni ciclo (e dunque ogni permutazione) si scrive (non necessariamente in modo unico) come prodotto di trasposizioni (o scambi). Parità di una permutazione. Teorema (senza dim): se una permutazione S si scrive come prodotto di un numero pari (risp. dispari) di trasposizioni, allora ogni altra scrittura di S come prodotto di trasposizioni sarà costituita da un numero pari (risp. dispari) di trasposizioni. Il sottogruppo alterno A_n delle permutazioni pari. Il gruppo alterno A_n contiene la metà delle permutazioni su n elementi. Esercizi vari.

Classi laterali destre (o sinistre) modulo un sottogruppo. Proposizione: la congruenza destra (sinistra) modulo un sottogruppo H di un gruppo G è una relazione d'equivalenza. Struttura delle classi laterali destre (sinistre) modulo H la classe di un elemento a come insieme Ha dei prodotti degli elementi di H per l'elemento a. Proposizione: tutte le classi laterali destre di G modulo H hanno la stessa cardinalità. Teorema di Lagrange: Se G è un gruppo finito, H un suo sottogruppo, allora l'ordine di H divide l'ordine di G. Indice (G:H) di un sottogruppo H in G. Corollario: l'indice (G:H) di H in G divide l'ordine di G. Corollario: se l'ordine di G è un numero primo, allora G è un gruppo ciclico. Corollario: In un gruppo finito l'ordine di ogni elemento g di G divide l'ordine di G. Corollario: se G e` finito, allora ogni elemento elevato all'ordine di G dà l'identità. La funzione Phi di Eulero che conta il numero di interi tra 1 ed n coprimi con n. Corollario (teorema di Eulero): se a è un intero coprimo con n, allora a elevato a Phi(n) è congruo a 1 modulo n. Proprietà di Phi: 1) (senza dim.) se r, s sono coprimi, allora Phi(rs)= Phi(r)Phi(s). 2) (con dim.) Phi(p^h)= p^h-p^(h-1). Passatempo: si calcolino i primi 10 valori della funzione Phi di Eulero, si ricerchi questa successione sul sito The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences": http://oeis.org/, un motore di ricerca per successioni di interi creato da Neil Sloane, inserendo i primi dieci valori trovati: "giocare" con la successione https://oeis.org/A000010, quella che appunto descrive la "Euler totient function phi(n): count numbers <= n and prime to n."

Studiare il paragrafo 5.5 di [AA]. Svolgere gli esercizi della decima scheda di esercizi su sottogruppi, omomorfismi, classi laterali.

Giovedì 4 novembre (Lezione XVII - ore 38, 39) - Il teorema di Lagrange non si inverte. Proposizione: Se H è un sottogruppo di G allora il numero di laterali destri è pari al numero di laterali sinistri.
I coniugati in Sn: struttura ciclica di permutazioni. Proposizione (senza dimistrazione): Due permutazioni sono comiugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. Come si trova la permutazione "testimone" che coniuga due permutazioni che hanno la stessa struttura ciclica. Classi di coniugio.

(La parte seguente che è tra parentesi non è stata svolta quest'anno! Sottogruppi normali. Elementi coniugati. Sottogruppo coniugato di un dato sottogruppo. La relazione di coniugio. Proposizione: in un gruppo G, con N sottogruppo, le seguenti sono equivalenti: 1) N è normale; 2) gNg^-1 =N; 3) ogni coniugato gng^-1 di ogni elemento n di N; N ` unione di classi di coniugio; 4) Ogni laterale sinistro di N è destro di N; 5) Na=aN per ogni a di G. Proposizione: Il quoziente G/N di G modulo un sottogruppo normale è un gruppo rispetto al prodotto NaNb =Nab.)

Studiare il paragrafo 5.3, 5.5 di [AA]. Completare gli esercizi della decima scheda di esercizi su sottogruppi, omomorfismi, classi laterali.

Lunedì 8 novembre (Lezione XVIII - ore 40, 41, 42)- Definizione di omomorfismo, monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo. Proposizione: 1) La funzione identica è un isomorfismo di G in sé; 2) se f isomorfismo di G in G' allora f^(-1) isomorfismo di G' in G; 3) se f isomorfismo di G in G' e g isomorfismo di G' in G'' allora gf isomorfismo di G in G''. Corollari: essere isomorfi è una relazione di equivalenza tra gruppi. (Inoltre detto Aut(G) l'insieme degli automorfismi di G in sé, Aut(G) è un gruppo rispetto al prodotto di composizione.)

Mercoledì 10 novembre (Lezione XIX - ore 43, 44) - Proprietà degli omomorfismi: se f omomorfismo di G in G' allora 1) f manda l'unità di G nell'unità di G'; 2) per ogni g in G, f manda l'inverso di g nell'inverso di f(g) di G'; 3) l'ordine dell'immagine f(g) di g divide l'ordine di G; 4) se f isomorfismo, l'ordine di g è uguale all'ordine di f(g). Queste condizioni sono necessarie ma non sufficienti affinchè f sia un omomorfismo. Due sottogruppi speciali: l'immagine e il nucleo di un omomorfismo Ker(f)= {x in G: f(x)=e}. Proposizione: dato un omomorfismo f di G in G', si ha: 1) l'immagine Im(f) è un sottogruppo di G'; 2) il nucleo di f Ker(f) è un sottogruppo (normale) di G; 3) f(a)=f(b) se e solo se aKer(f)=bKer(f), cioe' il quoziente di G modulo l'equivalenza relativa all'applicazione f è uguale al quoziente G/Ker(f) di G della congruenza modulo il sottogruppo H.

(Questa parte tra parentesi non è stata fatta quest'anno: Teorema fondamentale di omomorfismo per i gruppi (detto anche primo teorema d'isomorfismo: G/Ker(f) è isomorfo a Im(f). Inoltre esiste un unico isomorfismo f di G/Ker(f) in Im(f) tale che f si fattorizza attraverso la proiezione canonica pi: G -> G/Ker(f) e l'applicazione inclusione i: Im(f) -> G', cioè tale che f= i * f * pi. Esercizi sugli omomorfismi (es. 17 scheda 10).
(Questa parte tra parentesi non è stata fatta a lezione quest'anno Ripassare il Teorema di omomorfismo per gli insiemi, detto anche di decomposizione delle applicazioni (che trovate nella Proposizione 5. e 6. sugli appunti del prof. Campanella oppure su queste note). Definizione di isomorfismo e omomorfismo tra gruppi. Test per sottogruppi normali: un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo normale se sono verificate queste due condizioni: 1) per ogni x,y di H si ha: xy^(-1) in H; 2) per ogni x in H e per ogni g in G si ha che il coniugato ghg^(-1) è in H. ) )

Esercitazione. Esercizi dalla scheda 8 e 9.

Studiare il paragrafo 5.6, 5.7, 5.8 e 5.9 di [AA] (oppure il paragrafo 2.7 e 2.8 di [A]). Svolgere gli esercizi della undicesima scheda di esercizi (omomorfismi, sottogruppi normali).

Giovedì 11 novembre (Lezione XX - ore 45, 46) - I coniugati delle permutazioni. Struttura ciclica di una permutazione e classi coniugate. Sottogruppi di una cerca cardinalità dentro al gruppo simmetrico S_n

Studiare il paragrafo 5.3, 5.5 di [AA].

Lunedì 15 novembre (Lezione XXI - ore 47, 48 )- Definizione di omomorfismo, monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo. Proposizione: 1) La funzione identica è un isomorfismo di G in sé; 2) se f isomorfismo di G in G' allora f^(-1) isomorfismo di G' in G; 3) se f isomorfismo di G in G' e g isomorfismo di G' in G'' allora gf isomorfismo di G in G''. Corollari: essere isomorfi è una relazione di equivalenza tra gruppi. (Inoltre detto Aut(G) l'insieme degli automorfismi di G in sé, Aut(G) è un gruppo rispetto al prodotto di composizione.)

Mercoledì 17 novembre (Lezione XXII - ore 49, 50) - Proprietà degli omomorfismi: se f omomorfismo di G in G' allora 1) f manda l'unità di G nell'unità di G'; 2) per ogni g in G, f manda l'inverso di g nell'inverso di f(g) di G'; 3) l'ordine dell'immagine f(g) di g divide l'ordine di G; 4) se f isomorfismo, l'ordine di g è uguale all'ordine di f(g). Queste condizioni sono necessarie ma non sufficienti affinchè f sia un omomorfismo. Due sottogruppi speciali: l'immagine e il nucleo di un omomorfismo Ker(f)= {x in G: f(x)=e}. Proposizione: dato un omomorfismo f di G in G', si ha: 1) l'immagine Im(f) è un sottogruppo di G'; 2) il nucleo di f Ker(f) è un sottogruppo (normale) di G; 3) f(a)=f(b) se e solo se aKer(f)=bKer(f), cioe' il quoziente di G modulo l'equivalenza relativa all'applicazione f è uguale al quoziente G/Ker(f) di G della congruenza modulo il sottogruppo H.

(Questa parte tra parentesi non è stata fatta quest'anno: Teorema fondamentale di omomorfismo per i gruppi (detto anche primo teorema d'isomorfismo: G/Ker(f) è isomorfo a Im(f). Inoltre esiste un unico isomorfismo f di G/Ker(f) in Im(f) tale che f si fattorizza attraverso la proiezione canonica pi: G -> G/Ker(f) e l'applicazione inclusione i: Im(f) -> G', cioè tale che f= i * f * pi. Esercizi sugli omomorfismi (es. 17 scheda 10).
(Questa parte tra parentesi non è stata fatta a lezione quest'anno Ripassare il Teorema di omomorfismo per gli insiemi, detto anche di decomposizione delle applicazioni (che trovate nella Proposizione 5. e 6. sugli appunti del prof. Campanella oppure su queste note). Definizione di isomorfismo e omomorfismo tra gruppi. Test per sottogruppi normali: un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo normale se sono verificate queste due condizioni: 1) per ogni x,y di H si ha: xy^(-1) in H; 2) per ogni x in H e per ogni g in G si ha che il coniugato ghg^(-1) è in H. ) )

Esercitazione. Esercizi dalla scheda 8 e 9.

Studiare il paragrafo 5.6, 5.7, 5.8 e 5.9 di [AA] (oppure il paragrafo 2.7 e 2.8 di [A]). Svolgere gli esercizi della undicesima scheda di esercizi (omomorfismi, sottogruppi normali).

Giovedì 18 novembre (Lezione XXIII - ore 51, 52) - I coniugati delle permutazioni. Struttura ciclica di una permutazione e classi coniugate. Sottogruppi di una cerca cardinalità dentro al gruppo simmetrico S_n. Anelli: assiomi, esempi. Anelli commutativi, non commutativi, anelli unitari. Campi. Campi infiniti e campi finiti. Esempi. Proprità delle operazioni su un anello: lo zero dell'anello è annullatore del prodotto. Dominii di integrità. Sottoanelli e sottocampi. L'anello dei polinomi a coeffcienti in un anello o in un campo. Somma e prodotto di polinomi (definizione sulle successioni quasi ovunque nulle dei coefficienti dei polinomi). (Esempio non fatto questo anno accademico: L'anello dei numeri complessi. I numeri complessi.) La struttura dei sottoanelli dell'anello degli interi Z: Proposizione: tutti e soli i sottoanelli di Z sono della forma mZ (multipli di m). L'anello delle matrici n x m a coefficienti in un campo o in un anello. Matrici quadrate. Fatto durante il ricevimento: Esempio delle matrici quadrate 2 x 2: somma, prodotto, determinante. Il gruppo moltiplicativo delle matrici 2 x 2 a determinante non nullo. Definizione di omomorfismo, isomorfismo ecc. per anelli. Esempi di isomorfismi. Esercizitazione. Esercizi dalla scheda 8 e 9.

Studiare il paragrafo 5.3, 5.5 di [AA].

Lunedì 22 novembre (Lezione XXIV - ore 53, 54, 55) - Spazio vettoriali. Esemopi. Le n-uple su un campo. Le matrici rettangolari su un campo. I polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo. I polinomi troncati. I punti in un piano euclideo. I vettori della fisica. Sti

Studiare il paragrafo 5.6, 5.7 5.8 e 5.9 di di [AL]. Svolgere della undicesima scheda di esercizi (su omomorfismi).

Mercoledì 25 novembre (Lezione XXV - ore 56, 57) - Sottospazi vettoriali. Criterio per verificare che un sottoinsieme non vuoto sia un sottospazio. Matrici quadrate e traccia di una matrice. Regole di calcolo in uno spazio vettoriale. Combinazioni lineari. Esempi di basi: basi canoniche per le n-uple, le matrici, i polinomi troncati. Proposizione: B è una base di V se e solo se ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base. Coordinate di un vettore rispetto a una sua base.

Studiare il paragrafo 4.1 e 4.2 di [AL]. Svolgere gli esercizi da 4.1 a 4.9.

Giovedì 25 novembre (Lezione XXVI - ore 58, 59) - Dipendenza e indipendenza lineare di insiemi di vettori. Proposizione: un insieme di vettori è linearmente dipendente se e solo se almeno uno di essi si esprime come combinazione lineare di uno degli altri. Lo span: il sottospazio generato da un insieme di vettori. Appartenenza di un vettore di V allo span di un dato insieme di vettori tramite risoluzione di un sistema di equazioni lineari. Sistemi di generatori. Spazi vettoriali finitamente generati (ci occuperemo solo di questi, da ora in poi). Base di uno spazio vettoriale finitamente generato: insieme di generatori linearmente indipendenti.

Studiare il paragrafo 4.3 e 4.4 di [AL]. Svolgere gli esercizi da 4.10 a 4.21 pag. 87.

Lunedì 29 novembre (Lezione XXVII - ore 60, 61, 62) - Matrice completa di un sistema. Metodo di risoluzione per sostituzione. Matrice Aumentata. Algoritmo di Gauss - Jordan per la riduzione di una matrice a scala. L'eliminazione di Gauss. Equazioni impossibili. Sistemi incompatibili. Proposizione: le soluzioni di un sistema lineare omogeneo formano un sottospazio. Dati n vettori colonna di R^m essi sono indipendenti se e solo se il sistema Ax=0 ammette la sola soluzione banale, dove A è la matrice che si ottiene giustapponendo le colonne degli n vettori.

Mercoledì 1 dicembre (Lezione XXVIII - ore 63, 64) - Operazioni elementari di riga. Matrici elementari. Equivalenza per riga. Ricerca dell'inversa di una matrice. Proposizione: Se A (n x n) è invertibile, allora l'inversa di A si trova applicando l'algoritmo di Gauss Jordan alla matrice (n x 2n) alla matrice [A|I] fino a trovare [I|P], con I matrice identità di ordine n: l'inversa di A sarà allora la matrice P.

Studiare il paragrafo 3.1 e 3.2 di [AL]. Svolgere gli esercizi da 3.1 a 3.26 pag 53-56. Svolgere gli esercizi su spazi vettoriali proposti dal prof. Campanella a.a.2010/11.

Giovedì 2 dicembre (Lezione XXIX - ore 65, 66) - Teorema di Rouché- Capelli: il sistema AX=K è compatibile (cioè ammette almeno una soluzione) se il rango di A è pari al rango della matrice completa (o aumentata) A'=[A|K]. Inoltre la soluzione è unica se e solo se il rango di A=n= numero di incognite. Il metodo di Gauss Jordan per matrici rettangolari. Matrici a scala. Pivot. Risoluzione di un sistema a scala. Variabili libere e vincolate in un sistema. Il rango di una matrice è uguale al numero di pivot di una sua riduzione a scala. Esercizi ed esempi.

Studiare le Note di Algebra Lineare che sono sulla cartella GoogleDrive di Classroom.

Studiare il paragrafo 6.1, 6.2 e 3.2 di [AL]. Svolgere gli esercizi 6.1, 6.2, 6.3.

Lunedì 6 dicembre (Lezione XXX - ore 67, 68, 69) - Calcolo dell'inversa di una matrice invertibile: si trasformi la matrice aumentata [A | I] con Gauss-Jordan fino a trovare [I | P]: P sarà la matrice inversa. Proposizione sui sistemi lineari triangolari superiori quadrati: essi hanno soluzione unica se e solo se tutti gli elementi della diagonale sono non nulli. Teorema di struttura per i sistemi lineari (con dimostrazione): Sia v_0 una soluzione del sistema compatibile Ax=K, allora ogni altra soluzione è della forma v_0+w, dove w è soluzione del sistema lineare omogeneo associato Ax=0, ovvero w in Ker(A). Nullità di una matrice (dimensione del nucleo Ker(A)).

Proposizione: una base è un insieme massimale di vettori indipendenti, cioè ogni insieme che contiene una base è dipendente. Inotre: una base è un insieme minimale di generatori di V, cioè ogni sottoinsieme di una base non genera più V. Corollario: esistenza di una base. Teorema del completamento di una base (senza dimostrazione: la dimostrazione è lasciata a chi vuole ottenere un punteggio alto all'esame orale. Corollario: due basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità. Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi. In uno spazio vettoriale V di dimensione n su un campo K: 1) ogni sottoinsieme di n vettori indipendenti è una base; 2) se un insieme contiene più di n vettori, essi sono linearmente dipendenti; 3) la dimensione di un sottospazio è al più n; 4) la dimensione di un sottospazio W è strettamente positiva se e solo se W non consiste del solo vettore nullo.

Studiare il paragrafo 4.3, 4.4, 5.2 e 6.3 di [AL]. Svolgere gli esercizi 5.2-5.4, 5.5, 5.7, 5.12, 5.23, 6.10, 6.13, 6.14, 6.17 3.1 a 3.13.

Giovedì 9 dicembre (Lezione XXXI - ore 70, 71) - Operazioni tra sottospazi: l'intersezione e la somma. Somma diretta di sottospazi. La formula di Grassmann: dim(U) + dim(W)= dim (U+W) + dim(U intersezione W). Proposizione: se V è somma diretta di due sottospazi, allora la scrittura v=u+w di ogni vettore è unica. Proposizione: se V è somma diretta di due sottospazi, allora la scrittura v=u+w di ogni vettore è unica.

Studiare il paragrafo 4.5, 7.2, 3.1, 3.2, 3.3 di [AL]. Svolgere gli esercizi da 4.22 a 4.33 pag. 89. Es. 7.14 pag 140.

Lunedì 13 dicembre (Lezione XXXII - ore 72, 73, 74) - Trasformazioni lineari (= morfismi) di spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine: sono sottospazi. Proposizione (con dimostrazione): Un'applicazione lineare T: V -> W è completamente determinata quando se ne conoscano i valori si una base di V. Corollario: gli elementi {T(v_i): v_i varia in una fissata base di V} generano l'immagine Im(T). Per le matrici: le colonne di una matrice A generano l'immagine Im(T(A)). Rango di un'applicazione lineare; rango di una matrice.

Corollari (senza dimostrazione): 1) T iniettiva se e solo se dim(V)= rango(T); 2) T suriettiva se e solo se dim (W)= rango(T); 3) rango(A) = rango (trasposta di A).

Teorema della dimensione (Grassman, con dimostrazione): data un'applicazione lineare T: V -> W si ha dim V= dim Ker(T) + rango(T). Per una matrice A mxm la cosa si legge come: n= dim (Ker(A))+ rango(A).

Uso del metodo di Gauss-Jordan per: 1) risolvere un sistema lineare; 2) trovare rango di A e una base per Im(A); 3) trovare il nucleo Ker(A); 4) trovare un sottoinsieme indipendente di un insieme di vettori che generano un certo sottospazio; 5) dato un insieme indipendente (ma che non genera necessariamente un certo sottospazio) completarlo a una base del sottospazio; 6) date basi per sottospazi U e V, trovare una base per la somma diretta U+V e una base per l'intersezione (U intersezione W).

Studiare il paragrafo 5.2 e 6.3 di [AL]. Svolgere gli esercizi 5.2-5.4, 5.5, 5.7, 5.12, 5.23, 6.10, 6.13, 6.14, 6.17 3.1 a 3.13.

Studiare il paragrafo 4.5, 7.2, 3.1, 3.2, 3.3 di [AL]. Svolgere gli esercizi da 4.22 a 4.33 pag. 89. Es. 7.14 pag 140.

Mercoledì 15 dicembre (Lezione XXXIII - ore 75, 76) - Proposizione Ogni spazio di dimensione n è isomorfo a R^n (l'isomorfismo f_B si ottiene una volta fissata una base B di V, e non è canonico). Proprietà equivalenti: 1) A invertibile; 2) L(A) invertibile; 3) L(A) iniettiva; 4= Ker(A)={0}; 5) L(A) suriettiva; 6) Im(L(A)) = R^n; 7) rango di A rg(A)=n; 8) Le colonne della matrice A sono indipendenti; 9) le righe di A sono indipendenti (rg A = rg A^t); 10) AX=0 ammette l'unica soluzione nulla; 11) il sistema AX=b ammette un'unica soluzione X= A^(-1)b; 12) I pivot di una riduzione a scala di A sono tutti non nulli; 13) esiste B matrice n x n tale che BA=I (matrice identità); 14) esiste C matrice n x n tale che AC=I (matrice identità).

Svolti alcuni esercizi della dodicesima scheda di esercizi, su basi, generatori, indipendenza lineare. Attenzione! Fare anche gli esercizi indicati dei libri di testo.

Giovedì 16 dicembre (Lezione XXXIV - ore 77, 78) - Corrispondenza tra matrici e applicazioni lineari. Proposizione: L(V,W) insieme delle applicazioni lineari di V in W è uno spazio vettoriale. Proposizione: L(V,V) insieme degli endomorfismi di V in sé è un anello non commutativo unitario, quando si prende come prodotto la composizione di endomorfismi: il sottoinsieme delle applicazioni invertibili forma fruppo (isomorfo a GL(n,R) se lo spazio V ha dimensione n su R). Esempi standard di isomorfismi (canonici e non canonici). Proposizione: L(R^n, R^m) e` isomorfo alle matrici n x m a coefficienti in R (o su un campo K): data una trasformazione lineare T la matrice A corrispondente a T ha come colonne T(e_i), con e_i vettori della base canonica. Proprietà del prodotto "righe per colonne".

Studiare il paragrafo 7.1, 7.2, 7.3 di [AL]. Svolgere gli esercizi dal 7.1 al 7.17, 7.19, 7.20, 7.21, 7.25, 7.26.

Definizione di determinante (tramite permutazioni). Il determinante di una matrice A è il volume (con segno) del solido generato dai vettori colonna di A. Proprietà del determinante (da dimostrare tramite le permutazioni): se A è diagonale (o triangolare, superiore o inferiore), si ottiene come il prodotto degli elementi sulla diagonale; Se una riga o colonna di A è nulla, il determinante è zero; det(A)=det(A^t); il determinate è lineare su ogni colonna (opp riga): cioè e` multilineare; se A' si ottiene da A scambiando due righe (oppure due colonne) allora il determinante cambia segno: det(A)=-det(A'); se una matrice ha due righe uguali allora il determinante è zero; se due colonne in una matrice sono proporzionali allora det (A) e` zero; il valore del determinante non cambia se sommiamo a una riga il multiplo di un'altra (vero anche per colonna).

Teorema di Binet: det(AB)=det(A)det(B), ovvero il determinante è una funzione moltiplicativa (ma non additiva!!! det(A+B) diverso da det(A)+det(B)). Corollario: se A invertibile, allora il determinante dell'inversa è l'inverso del deteminante di A. Teorema di Laplace (con dimostrazione): formula ricorsiva del det(A) tramite lo sviluppo secondo una fissata riga (o colonna).

Studiare il paragrafo 9.1, 9.2, 9.3 di [AL]. Svolgere gli esercizi 9.2, 9.3, 9.6, 9.7, 9.19, 9.20, 9.31, 9.32.

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Dalla riga sottostante, il diario che si legge è relativo allo scorso anno accademico.

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Lunedì 20 dicembre (Lezione XXXV - ore 79, 80, 81) -

Cambiamenti di base. Matrice del cambiamento di base (trasformazione contravariante): contiene come colonne le coordinate dei vettori della nuova base espressi come combinazione lineare nella vecchia base. Esempi ed esercizi.

Aggiunta un'ora di esercitazioni.

Studiare il paragrafo ... di [AL]. Svolgere gli esercizi su trasformazioni lineari proposti dal prof. Campanella a.a.2010/11.

Aggiunta un'ora di esercitazioni. Studiare il paragrafo 1 capitolo 9 di [AL]. Svolgere gli esercizi...

Lunedì 20 dicembre (Lezione XXXVI - ore 82, 83) - Esercizi sul calcolo del determinante (formula di Laplace o tramite una riduzione a scala della matrice, che utilizzi solo sostituzioni di un dato vettore riga v con un vettore riga v+cw, con c scalare). Teorema di Binet. Teorema di Cramer per la risoluzione di sistemi quadrati Ax=b, dove A invertibile. Teorema degli orlati (o di Kroneker) per il calcolo del rango di una matrice rettangolare, usando la funzione determinante.

Studiare il paragrafo ... di [AL]. Svolgere gli esercizi...

OGGI SI FARA' LA FOTO DELLA CLASSE: PARTECIPATE NUMEROSI!

Mercoledì 22 dicembre (Lezione XXXVII - ore 84, 85) -

Mercoledì 22 dicembre (Lezione XXXVIII - ore 86, 87) - Autovalori. Autovettori relativi ad autovalori. Similitudine tra matrici. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Matrici scalari e diagonali. Una matrice è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori. Ricerca degli autovalori. Esempi di matrici che non ammettono autovalori. Svolgere gli esercizi relativi alla sezione corrispondente.

-Polinomio caratteristico di una matrice (o di un endomorfismo). Molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori. Criterio per la diagonalizzazione di matrici quadrate (o di endomorfismi). Svolgere gli esercizi sulle matrici diagonalizzabili.

Giovedì 23 dicembre (Lezione XXXIX - ore 88, 89, 90) - Autovalori. Autovettori relativi ad autovalori. Similitudine tra matrici. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Matrici scalari e diagonali. Una matrice è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori. Ricerca degli autovalori. Esempi di matrici che non ammettono autovalori. Svolgere gli esercizi relativi alla sezione corrispondente.

-Polinomio caratteristico di una matrice (o di un endomorfismo). Molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori. Criterio per la diagonalizzazione di matrici quadrate (o di endomorfismi). Svolgere gli esercizi sulle matrici diagonalizzabili.

Corollario: l'indice (G:H) di H in G divide l'ordine di G. Corollario: se l'ordine di G è un numero primo, allora G è un gruppo ciclico. Corollario: In un gruppo finito l'ordine di ogni elemento g di G divide l'ordine di G. Corollario: se G e` finito, allora ogni elemento elevato all'ordine di G dà l'identità. La funzione Phi di Eulero che conta il numero di interi tra 1 ed n coprimi con n. Corollario (teorema di Eulero): se a è un intero coprimo con n, allora a elevato a Phi(n) è congruo a 1 modulo n. Proprietà di Phi: 1) (senza dim.) se r, s sono coprimi, allora Phi(rs)= Phi(r)Phi(s). 2) (con dim.) Phi(p^h)= p^h-p^(h-1). Passatempo: si calcolino i primi 10 valori della funzione Phi di Eulero, si ricerchi questa successione sul sito The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences": http://oeis.org/, un motore di ricerca per successioni di interi creato da Neil Sloane, inserendo i primi dieci valori trovati: "giocare" con la successione https://oeis.org/A000010, quella che appunto descrive la "Euler totient function phi(n): count numbers <= n and prime to n."

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Venerdì 7 gennaio 2022 - Sessione d'esame. Per ogni appello è necessario prenotarsi tramite Infostud.

-- ClaudiaMalvenuto - 13 dicembre 2021