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SCHEDA 1 Insiemi: descrizione e rappresentazione, elementi e appartenenza. Sottoinsiemi, insieme vuoto. Unione, intersezione, complemento. Prodotto cartesiano. Relazioni, funzioni.

1. Si assegna un insieme quando: a) si elencano i suoi elementi b) si definisce una proprietÓ 1.1. Per gli insiemi seguenti si riconosca come sono definiti: Insieme degli articoli della lingua italiana. 1,3,6,10,15,21,28,…. {x N: ∃ z tale che x = z-3 } Insieme delle regioni italiane. 1,5,12,22,35,51,… x N: x-1 Ŕ pari Insieme delle ossa del cingolo pelvico.

{xN
x = x2} 1,2,3,5,8,13,21,3,…}
xN
∃ zN tale che x =2z+1  5,7,9,11,13,15, Insieme dei numeri primi, pari e diversi da 2. Parco Colle Oppio, Parco Egerio, Parco S’Andrea, Parco San Gregorio, Parco San Sebastiano, Parco degli Scipioni {1,4,9,16,25,…,n2,…}
xN
x2+x =1 Insieme dei multipli di 3 compresi tra 10 e 22.
{xN
z si ha x+z = z} L’insieme dei numeri dispari,
x╬N
∃ z ╬N tale che z = 2x
1.2. Si definiscano con una proprietÓ quelli tra gli insiemi precedenti dei quali si sono elencati gli elementi.

2.Sottoinsiemi, unione, intersezione. Uguaglianze. DualitÓ. 2.1. Dati gli insiemi X = a,c,d, Y = a,b,d,e, Z = a,b quali delle seguenti espressioni sono corrette? ZY XY a Z aX (XZ) Y XZ Y ZY XZ = a ZY . Dati gli insiemi: A =xZ: la divisione di x per 4 ha resto 2, B = xZ: nZ tale che (x-18) = 4n , dimostrare che A=B 2.3. Si dimostri che BC = se e solo se B= e C=. 2.4. Sia B un sottoinsieme di X. Si dimostri che se AB =A per ogni sottoinsieme A allora B = . 2.5.Dimostrare che la legge di cancellazione Ŕ falsa. Ossia se A╚B = A╚C non necessariamente si ha B = C. 2.6. Dimostrare che l’unione (A╚B) di due sottoinsiemi di X Ŕ contenuta in tutti i sottoinsiemi di X contenenti sia A che B, mentre l’intersezione (AB) contiene tutti i sottoinsiemi di X contenuti sia in A che in B. 2.7. (AB)C Ŕ uguale ad A(BC)? 2.8. Siano X ed Y due insiemi tali che esiste un insieme Z per cui XZ = YZ e XZ = YZ, dimostrare che necessariamente X = Y. 2.9. Si considerino l’insieme A degli interi divisibili per 3, l’insieme B degli interi divisibili per 5, l’insieme C degli interi divisibili per 20. Determinare AB, AB, ABC, ABC, (AB)C e (AB)C.

3.Differenza. Dato un insieme I e un sottoinsieme A di I, il complementare di A Ŕ l’insieme: A ̅={ xI: xA}. 3.1. Dimostrare che : A ̅∩B ̅= (A∪B) ̅ e A ̅∪B ̅=(A∩B) ̅(De Morgan) 3.2. Dimostrare che A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C). 3.3. Differenza simmetrica si definisce come segue: A B =(A-B)(B-A). Dimostrare che (A∆B)=(A∪B)(A ̅∪B ̅) 3.4. Verificare che la differenza simmetrica Ŕ associativa, commutativa e soddisfa la proprietÓ distributiva rispetto all’intersezione ma non rispetto all’unione. 3.5. Definire una operazione analoga alla differenza simmetrica (ossia associativa e commutativa) che sia distributiva rispetto all’unione ma non rispetto all’intersezione. 3.6. Dimostrare che (A∪B)∩B ̅=A se e solo se A∩B=∅. 3.7. Si dimostri che A═B Ŕ equivalente ad ognuna delle seguenti condizioni: i)A∆B=B-A, ii) se A e B sono sottoinsiemi di X, A ̅∪B=A∪B ̅=X. 3.8. Calcolare: (A∩B ̅ ) ̅∪(B∩C) (((A∩B)∪C) ̅∩B ̅ ) ̅ ((A∪B)∩A ̅)∪(B∩A) ̅

4.Prodotto cartesiano 4.1. E’ vera l’identitÓ (AxA)xA = Ax(AxA)? Ogni sottoinsieme di un prodotto cartesiano Ŕ un insieme prodotto? 4.2. Dei seguenti insiemi determinare quelli prodotto e indicarne i “fattori”: (1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(2,1), l’insieme dei punti della superficie di un cilindro, l’insieme dei punti della superficie di una piramide a base quadrata. 4.3. Verificare le seguenti identitÓ: (AB)C =(AC)(BC) (AB)(CD)=(AC)(BD)

5. Relazioni e funzioni. E’ assegnata una relazione  tra A e B quando Ŕ definito un sottoinsieme R del prodotto cartesiano AxB (grafico della relazione).

5.1. Si rappresenti graficamente la relazione x2+y2= 5 tra numeri reali e la relazione x2+y2= 5 tra numeri interi. 5.2. Determinare una coppia di relazioni che siano la prima inclusa nella seconda. 5.3. Siano A=Lazio,Liguria,Puglia,Toscana,Sicilia,Sardegna e B = Carbonia,Cesano,Imperia,Manfredonia, Narni, Orvieto,Parma,Piombino,Veroli, rappresentare graficamente la relazione “La cittÓ x appartiene alla regione y”. 5.4. Rappresentare graficamente le relazioni R tra numeri reali definite da: (x,y) ╬R se e solo se -1x 1/2 e 1< y<2 (x,y) ╬ R se e solo se y=x2 (x,y) ╬R se e solo se x>y (x,y) ╬R se e solo se 1yx

Un insieme parzialmente ordinato Ŕ una coppia (P,) dove P Ŕ un insieme non vuoto e  Ŕ una relazione d’ordine su P (ossia una relazione riflessiva, antisimmetrica transitiva).

5.5. Posto A =1,2,3,4,5,6,7,8, si rappresenti il diagramma di Hasse di (A,|) e dell’insieme parzialmente ordinato duale. 5.6. Si consideri l’insieme B nN: n 2r3s con r,sN. Dimostrare che la relazione  su B definita da: (2r3s  2t3u )  (rt e su) Ŕ una relazione d’ordine. Considerati i sottoinsiemi di B: F=2,4,12,16 e G=3,16,27,32. Si rappresentino i diagrammi di Hasse degli insiemi parzialmente ordinati (F,) e (G,). 5.7. Determinare una relazione riflessiva antisimmetrica ma non transitiva. 5.8. Determinare una relazione antisimmetrica e transitiva ma non riflessiva.

Una funzione f: AB Ŕ una terna ordinata (A,B,f) dove A e B sono insiemi (rispettivamente il dominio e il codominio) ed f Ŕ un sottoinsieme di AxB tale che per ogni a di A esiste un solo elemento b di B, chiamato immagine di a, per cui (a,b) f.

5.9. Quali tra le seguenti relazioni tra N e Q sono funzioni? Si motivi la risposta. x1y  2x =3y x2y █ 2x2=3y x3y █ 2x=3y2 x4y█ 2x =3|y| 5.10. Determinare il dominio della funzione reale f() =√(x+1) e l’immagine tramite f dell’insieme [2,3]. 5.11. Determinare il dominio della funzione reale f(x) = (x + 1)2 e l’immagine tramite f dell’insieme [−2, 1]. 5.12.Determinare dominio ed immagine della funzione il cui grafico Ŕ il seguente:

5.13. Data la funzione reale f(x) = 2x + 3, verificare che Ŕ iniettiva su [0,1] e determinare l’immagine f ([0, 1]). La funzione f : R[0, 1] tale che f(x) = 2x + 3 Ŕ invertibile?. 5.14. Data la funzione reale f(x) = (x − 1)2, verificare che non Ŕ iniettiva su [0,2], determinare un intervallo I contenuto in [0,2] su cui f Ŕ iniettiva e trovare l’immagine di tale intervallo tramite f . Definire l’inversa della funzione f : II definita da f(x) = (x − 1)2. 5.15. Data la funzione f(x) = (x+1)/(x−1), verificare che `e iniettiva su [2,4], calcolare l’immagine di [2, 4] tramite f e scrivere l’inversa di f: [2,4] « [2,4] definita da f(x) = (x+1)/(x−1).

Una relazione di equivalenza su un insieme A Ŕ una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva. Dato a A, l’insieme degli elementi di A equivalenti da a costituiscono la classe di equivalenza rappresentata da a. L’insieme delle classe di equivalenza A/ si chiama insieme quoziente ed Ŕ una partizione di A.

5.16. Si determini una relazione simmetrica,transitiva ma non riflessiva. 5.17. Si consideri in Z la relazione  definita da: a  b a=b o a,bN. Dimostrare che  Ŕ una relazione di equivalenza su Z e determinare l’insieme quoziente. 5.18. Si consideri la relazione  su NxN definita da: (m,n)  (p,q)  m +q= n+p Dimostrare che  Ŕ una relazione di equivalenza il cui insieme quoziente ha la stessa cardinalitÓ di Z. 5.19.Si consideri l’insieme B =nN: n=2r3s con r,sN.Dimostrare che la relazione  su B definita da: 2r3s2t3 r+s =t+u Ŕ una relazione di equivalenza. Determinare le classi di equivalenza rappresentate dai seguenti numeri: 1,3,4,12. La relazione  su B definita da: 2r3s2t3u█ r+u =s+t ╚ di equivalenza?Quale proprietÓ ha? 5.20. Sia f: RR definita da f(x) = x2-1, determinare l’immagine di f. Determinare il quoziente R/f, dove f Ŕ la relazione di equivalenza definita da: xf z  f(x) = f(z)


This topic: Algebra/MZ/AA1112 > WebTopicCreator
Topic revision: r3 - 2011-10-09 - AntoniettaVenezia
 
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